戴榕菁

1. 德布罗意波之错

今年早些时候在修正了爱因斯坦著名的质量能量关系从而得到E = mc²/2之后，我曾指出过因为德布罗意波在得出他的著名的物质波长公式过程中用了E = mc²【[1],[2]】，所以需要将德布罗意波长加倍以满足正确的质量能量关系。但当时忽略了一点，那就是德布罗意在推导他的波长公式时不仅用到了爱因斯坦的质量能量关系而且还用到了洛伦兹变换，因此在推翻狭义相对论之后，对于德布罗意波长的修改就不仅仅是加倍那么简单了。

为了弄清德布罗意得出的波长出了哪些错，我们先来回顾一下他的那个著名的物质波波长的公式：

λ = h/p                                                 (1)

其中λ是德布罗意所提出的物质波的波长，h是普朗克常数，p = mv是相关物质（粒子）的动量，m是物质（粒子）质量，v是物质（粒子）运动速度。将动量表达式代入(1)式后，我们得到：

λ = h/mv                                              (1a)

关于(1a)式，教科书上以及相关课堂或讲座上最喜欢说的一点是：当质量m增大时，德布罗意波长会变小，这就是为什么我们在宏观世界看不到德布罗意波的原因。

但是，正如相对论学者们常出现的顾头不顾尾的做法那样，他们从(1a)式看出m变大会导致波长λ变小的同时就顾不上去看当v = 0的时候不论m有多大λ都是无穷大这一点了，更是不会联想到宏观物体与按照量子理论得到的微观粒子特性之间的一个基本区别：宏观物体通常不会象原子核中的粒子那样进行接近光速的运动。

对于一个宏观物体来说，速度为0的静止态在生活中是一个基本的常态。这种静止物体的德布罗意波长为无限大的现象居然可以在整个现代物理学界的百万大军的眼皮子底下，尤其是那些几乎每天都要用到德布罗意波长的粒子物理学家们的眼皮子底下混了将近一百年，这也可说是人类文明的又一个奇观了。而这里发现的德布罗意波长除了因旧的质量能量关系而导致的错误之外的错误的根源仍然是狭义相对论。

可见，德布罗意波长公式需要修改的不仅仅是我之前提出的波长加倍那么简单了。那么德布罗意波长究竟错在哪里了，又为什么会错了呢？我们从它为什么会错就可以知道它究竟错在哪里了。

具体地说，如他在诺贝尔获奖讲座上声称的【[3]】，德布罗意推导他的波长公式的出发点是假设一个静止的质点带有一个驻波（stationary wave）。但从文献【3】我们可以看出，他的实际出发点并不是什么驻波，而是一个简谐振子。当一个简谐振子沿着与它振动的方向垂直的方向运动时，它将在空间画出一个波形，这个波形就是德布罗意所假定的物质波的原型。或许他在构想这个模型时和当年洛伦兹假想动尺缩短动钟变慢时一样心中还惦记着那个看不见的以太，从而将质点在真空中划过的波形想象成粒子所携带的物质波。

不管德布罗意当时内心到底是怎么想的，反正在文献【3】中作为他的推导出发点的数学公式并不是他用文字声称的驻波公式，而是一个简谐振子的公式。在经典力学中，由一个以速度v进行平移的简谐振子在空间画出的波是一个相速度等于v的简谐波。但是，德布罗意对他的振子运动运用了由爱因斯坦推导出的洛伦兹变换【[4]】。这样一来，它的相速度就变为：

V_p = c²/v                                                                      (2)

而相速度与波长和频率f之间的关系为：

V_p = λf                                                                         (3)

接下来，德布罗意又做了另一个假说：粒子的物质波满足爱因斯坦的光子能量关系：

E = hf                                                                          (4)

其中E 为粒子的能量。接下来，运用爱因斯坦的质量能量关系我们可以得到：

动量 p = mv = mc²v/c² = Ev/c² = E/V_p = hf/ λf = h/λ    (5)

由(5)便可得出前面给出著名的德布罗意波长公式(1)和(1a)了。

德布罗意在他的推导中还将m写成了γm₀的形式，但实际上那样的表达式在他的推导中并没有起到什么作用。

德布罗意波的假说最早于1923年发表于《自然杂志》【[5]】，然后作为他的博士论文于1925发表在Ann de Phys【[6]】上。在他的博士论文中，德布罗意作为一个定理证明了上述运用洛伦兹变换得出的复合波的群速度就是粒子移动速度v。尽管德布罗意的那个证明看上去非常严谨，但因为整个德布罗意波是一种假说，所以那个证明也只能被认为是假说的一部分而已【[7]】。这个定理赋予了物质波的群速度一个明确的物理意义，但它在推导德布罗意波长公式的过程中并没有起到直接的作用。

至此我们已经知道了德布罗意波长公式是如何错的了。下面我们来看应如何修正由狭义相对论造成的德布罗意波长公式的错误。

首先，推翻狭义相对论之后，当我们将一个简谐振子以速度v进行平移时，它的相速度不再由公式(2)给出，而应该就是v本身，并且等于它的群速度；其次，我们不应再用E = mc²而应使用E = mc²/2。现在我们再重新推导一下德布罗意波长公式：

p = mv = 2mc²v/2c² = 2Ev/c² =  2Ev²/ V_pc² = 2 E/V_p(v²/c²) = 2(v²/c²) h/λ                    (6)

修正后的物质波长公式(6)比德布罗意推导出的波长公式多了一个系数2(v²/c²)。由于这个系数的存在，修正后的物质波长公式(6)就不会再出现前面提到的静止物体的德布罗意波长为无限大的状况了。

1.1. 讨论

与德布罗意波长公式(1)相比，推翻了狭义相对论之后得出的正确的物质波长公式(6)所多出来的系数2(v²/c²)含有两个因子，一个是2，一个是v²/c²。其中的2是我之前在【1,2】中就给出的由新的质量能量关系得到的，而v²/c²则是由废除德布罗意在推导过程进行的洛伦兹变换得到的。幸运的是， 2与v²/c²这两个因子的效果在一定程度上是相互抵消的。假设v = 0.7c，则v²/c² = 0.49 ≈ 0.5。这时的2(v²/c²) ≈ 1。所以，虽然(6)看起来比文献【1,2】中给出的公式对德布罗意波长进行的修正更复杂，其实它在数值上比【1,2】中给出的公式对德布罗意波长进行的修正反而更小了。

2. 薛定谔之幸运

虽然薛定谔的著名的量子力学波动方程是建立在德布罗意波的概念基础之上的，但他幸运的是，如他在发表该公式的文献【[8]】中指出的，他不认为狭义相对论适用于他所讨论的量子力学问题，所以他不打算象德布罗意那样地去用狭义相对论进行推导。这样一来，著名的薛定谔方程就不会受到推翻狭义相对论的影响了。

3. 结束语 ---- 德布罗意，狄拉克，薛定谔，及其他

围绕着电子运动建立起来的三个作为现有的量子力学理论中最基本的三个数学模型（德布罗意波，狄拉克方程，薛定谔方程）中，德布罗意和狄拉克【[9]】的结果因为应用了狭义相对论而会受到推翻狭义相对论的影响。薛定谔的方程则会因为他明确拒绝了使用狭义相对论而独善其身。

尽管如此，从哲学上来说，德布罗意和狄拉克都非常幸运地没有因为他们的理论在数学上受到狭义相对论的影响失去其历史价值。德布罗意是先提出物质波的假设，然后在这个基础上推出了他的波长公式，而狄拉克应该是先推导他的方程，然后从他的方程的解中看出存在着正反物质两种解以及同一原子轨道上可以有两个自选相反的电子。现在看来，德布罗意提出的物质波动的概念以及狄拉克提出的正反物质的概念和电子两种自旋的概念应该都被认为是得到了实验的印证，因而尽管他们的数学模型都存在着相应于狭义相对论的瑕疵，他们提供的哲学概念却都为文明进步做出了历史性的贡献。

薛定谔的状况比较特殊。他的方程并没有受到狭义相对论的影响，但他的方程的涵义却被波恩解释为几率波方程。尽管薛定谔完全不认同波恩的解释，但是这个世界就愣是把薛定谔的方程做了违背他自己意图的解释。然后，为了证明他自己是正确的而哥本哈根是错误的，薛定谔又搞出了一个著名的猫理论。但是他的猫理论再一次被物理学界解释为对于哥本哈根学派之正确的有利证据。就这样薛定谔一再被这个世界弄到他自己的对立面去。

问题是，薛定谔与波恩到底孰对孰错呢？日后的实验似乎表明他俩都对了又都错了。2022年的诺贝尔物理奖所奖励的实验明显是站在了波恩的一边，而2023年的诺贝尔物理奖又明显站在了薛定谔这边。这种薛定谔与波恩都对了又都错了的状况虽然对于哥本哈根学派不是什么好消息，对于薛定谔来说却是大好消息。很显然，当薛定谔的解释是对了的时候，他自然就赢了，而当与他的解释对立的一面对的时候，他又一次赢了，因为他的理论早已被这个世界硬性地解释为与他自己的解释相对立的意思了。

这里顺便再提一下，如我之前指出的【[10],[11]】，薛定谔的猫理论存在着一个逻辑缺陷。这对于他用来表明波恩错了的原意来说不是什么大问题，但是如果人们把那个猫理论作为反映量子世界本质的理论来看的话，那个缺陷就是严重的了。

此外，薛定谔与波恩两个人看来都对了又都错了这一点对于爱因斯坦等以量子力学存在隐藏（hidden）变量为理由认为量子力学是不完备的人来说是一个大好消息。虽然薛定谔与波恩两个人看来都对了又都错了这一点所指向的隐藏变量未必就是爱因斯坦他们所指出的意义上的隐藏变量，但只要有隐藏变量就证明他们所指出的量子力学是不完备的这一点是正确的。这一点对于坚持量子力学是完备的哥本哈根学派不是什么好消息自不用说，就是对于诺贝尔委员会来说，这又何尝不是一件尴尬的事情呢？虽然他们发出的2022年的物理学奖所奖励的是几位物理学家对于著名的贝尔不等式的验证，但是全世界都已经把诺贝尔委员会的那一姿态解读为对于量子力学是完备的这一点的肯定了。

最后再提一下哥本哈根学派中的另外两个核心人物波尔和海森堡。

虽然波尔是哥本哈根学派的领军人物，他给出了对于量子力学的哥本哈根解释的基本涵义，但他的原子模型应该不属于哥本哈根学派的理论。而海森堡则是最尴尬的一个人了。首先，如我之前指出的【[12],[13],[14]】，阿秒物理可以精准地捕捉到电子运动轨迹这一点可以说是基本否定了海森堡的那个著名的测不准原理的价值。另外，薛定谔在文献【8】中提到在他发展波动方程的同时海森堡发展出的矩阵力学其实与他的波动力学是等价的，后来也有人说海森堡的矩阵力学其实与狄拉克开创的量子场论也是等价的，但现实的状况是没有人再去搭理海森堡的那个矩阵力学了。。。。