七大数学难题3: 庞加莱猜想(大球套小球问题)

难题三： 庞加莱猜想　Poincare　Conjecture

什么是庞加莱猜想，用我的话说，就是“大球套小球，会变成一个球”。在一个任意形状的大球里套上一个小球，小球不断膨胀之后，两个球面会完全的贴在一起，成为一个球。---就这么点事，数学家搞了100年。

20世纪初的1904年，法国大数学家庞加莱提出如下猜想："任何一个封闭的三维空间，只要它里面所有的封闭曲线都可以收缩成一点，这个空间就一定是一个三维圆球 。用代数的语言说，就是：任意一个闭单连通3维-流型都同胚于一个相应的3维-球面"。

你看看，"同胚"，连数学家都记不清的概念.  "同胚"就是, "那小球不断地膨胀, 使得小球跟大球面贴成了一个球, 或者说, 可以变成同一个球"。
      
庞加莱，在１８９７的第一次国际数学家大会上，就被大会列为特邀大会报告人，他因病缺席，由 J. Franel 代读了论文.＂纯分析和数学物理＂一文影响了世界数学界整正一个世纪．看看中国的现状，科学院的院士是：＂数学物理学部＂； 最终有份参与解决庞加莱猜想的朱熹平也是在中国最有名的数学物理学家李国平创立的＂武汉数学物理研究所＂拿的ＰＨＤ．他的导师就是李国平的大弟子，目前中国数学物理/偏微方程方面的权威丁夏畦院士。

到了1900年的第二次国际数学家大会上，庞加莱已经成了大会的主席．可见他在学界的地位．正是在这次大会上， Hilbert 的23问题问世．

苹果面问题：如果伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果用同样的橡皮带以适当的方向伸缩在一个救身圈面上，那么不扯断橡皮带或者救身圈面，是没有办法把它收缩到一点的。因此苹果表面是“单连通的”，而救身圈面就不是。庞加莱１９０４年就解决了二维球面本质上可由单连通性来刻画．但对三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题，则不能给出解答。这个问题就是后来的庞加莱猜想。

100年来, 数学家一直在努力. 对拓扑分类中球面问题维数 n>=5 的庞加莱猜想，１９６０年就被大数学家斯梅尔证明了．到了１９８１年， M.Freedman 又完成了维数 n=４的证明．
就剩下n=3放在那, 一待就是100年.

II ．丘成桐与 Ricci 流

大数学家陈省身(华人中唯一获过数学Wolf大奖)的入室大弟子美国院士丘成桐，因为证明了微分几何中的卡拉比猜想而获得数学最高奖菲尔茨奖．丘在几何曲面，拓扑流型，微分几何等方面，造诣很深，成果累累．他对庞加莱猜想有很深的理解和研究，他下了很多苦心．但一直不得其解。

应该说庞加莱猜想， Thurston 几何化猜想，和拓扑分类的 Ricci 流证明都是丘成桐 Shing-Tung Yau 等人所创立的 “几何分析” 的最大成就。丘和他的老师陈省身一样，中华情结很重，许多外国人私下批评丘是一个强烈的民族主义者．证据之一便是他的大多数入室弟子都是中国人，并且他喜欢强力推荐自己的弟子到重要位置上。

1979年时，任普林斯顿大学教授的数学家瑟斯顿William Thurston对拓扑分类中球面问题深有研究．先是叶状结构理论，后是三维流形的几何理论．---这两项都是开创性的大成就。尤其三维流形的几何理论，涵盖了庞加莱几何结构猜想。因此他对庞加莱几何结构猜想，也得到了部分证明结果．由于他对三维流形的几何理论的开创性贡献，于１９８２年与丘同时获得菲尔兹奖。

受老师陈省身对Ricci 流研究的影响，丘很早就意识到Ricci流的重要性．１９８２年，当Hamilton创立Ricci流理论之初，丘就令他的几个中国学生跟Hamilton学习．丘曾向Hamilton建议可否引进几何切割来解决拓扑分类等问题。

１９９７年，Hamilton发表了关于几何切割的文章，Hamilton的Ricci流理论对庞加莱猜想的解决方案建立了一组偏微方程. 该方程组清楚地说明了解决庞加莱猜想的可行性。它成了日后人们解决庞加莱猜想的纲领性方案。---可以说, Hamilton的工作是里程碑式的, 后人的工作应该都没"超越"他---都是基于他的理论与方法。

俄国数学家Grisha Perelman试图攻克该难题而不余以力；他早在 1994年就从人们的视线中彻底消失，开始埋头苦干，研究有关Ricci流和庞加莱猜想．他使用了Hamilton的几何切割方法，到8年以后的2003年5月他宣布解决了庞加莱猜想。3年过去了，专家们还在检查他的证明。最后的检查结果如何，没有正式宣布。一些著名的专家认为这一结果基本上是正确的，只是有一些小纰漏需要改正．

丘是这方面的专家，他应该是验收Perelman结果的专家之一．丘苦心研究Ricci流这么多年，到手的鸭子飞了，其心情可想而知。 　

丘对他的那几个弟子也有微言．他们为了职称，为了发表文章数，都不愿意花时间在这辛苦而可能毫无结果的Ricci 流研究和庞加莱猜想上．因次丘被迫把眼光放到了国内那些有Ricci流研究基础的别人的弟子身上。

III. 朱熹平与微分几何

朱熹平， 1982年本科毕业于老牌的中山大学数学系，1984年在中大取得硕士学位．然后考入中国数学物理方面最强的单位＂科学院武汉数学物理研究所＂，并于1989年取得数学物理偏微方程博士学位。

武汉数学物理研究所的全班人马几乎清一色是老武大数学所的人，他们在数学物理，偏微分方程，数理方程等方面执国内之牛耳．＂数学物理研究所＂的创办人是丁夏畦院士的老师，学部委员李国平一级教授．丁夏畦是所长，专长数学物理和偏微分方程．朱这样跨不同校门，等于受到了另外一个学术派系的教育．对他日后的研究想必打下了极广泛的基础．

再加上武大数学系与法国的关系――武大数学系余家荣教授是国内唯一的法国科学院外籍院士;＂法语数学班＂在国内独一无二．因此朱熹平被邀到法国巴黎第九大学的著名数学家、法国科学院院士、Fields奖得主P. L. Lions 教授处合作一年。这些使得他在偏微分方程的紧性结构及多解性方面取得了若干国际领先的工作。

朱熹平现任中山大学数学系教授、数学与计算科学学院院长，广东数学学会理事长，中科院晨兴数学中心学术委员，浙大数学研究中心顾问，《数学物理学报》、《偏微分方程杂志》、《数学研究》编委。 91年获中科院自然科学二等奖， 97年入选教育部“ 跨世纪人才”，98年获国家杰出青年基金，列入99年度国家人事部“ 百千万人才” 第一梯队人选，并于2001年被聘为教育部“长江学者”特聘教授。

朱在偏微及微分几何两个领域里造诣很深。俄罗斯著名数学家Steklov数学研究所的Pohozaev 在1997年出版的专著《 Entire Solutions of Semilinear Elliptic Equations 》（ Birkhauser 出版社）中用了整整两节共23页介绍朱熹平的一个定理及其应用。近年来他在微分几何领域，先后解决了Grayson猜测以及Gage公开问题，并且在Ricci flow理论取得一些成果。

丘成桐在编辑有关Ricci flow领域的精选文集时收集了朱熹平与陈兵龙于2000年发表在国际顶级数学刊物《 Inventiones Mathematicae 》上的一篇论文，还邀请朱为该文集写了一篇有关完备非紧流形Kahler-Ricci flow方面的综述文章。由于朱在曲率流方面的具国际领先水平的工作，美国 CRC/Chapman & Hall 出版社主动邀请他和曹启昇撰写了专著《 The Curve Shortening Problem 》并于2001年出版。接着在2002年美国数学会与国际出版社（AMS/IP）联合出版了朱熹平题为《 Lectures On Mean Curvature Flows 》的另一本专著。

丘成桐想到了朱熹平．

IV. 朱熹平与庞加莱猜想

朱在Ricci flow领域的工作基础，对解决庞加莱猜想问题很有用．于是, 2005年９月底至今年３月，丘成桐邀请朱熹平和曹怀东到他所在的哈佛大学，一边研读俄国数学家Grisha Perelman的证明，一边以每星期３小时的时间—连续２０多个星期、共约７０个小时，和包括哈佛数学系主任在内的５位数学家进行逐段讨论，反复推敲其中每一个问题. 希望能够找出错误，并使得俄国数学家Grisha Perelman的证明得到完善．

由于Hamilton的奠基性工作和Grisha Perelman的证明都很杰出，人们期待着在2006年国际数学家大会（西班牙。8月）上，能有庞加莱猜想的最终结论。

为了抢8月这个时间点，丘成桐将曹朱的论文发表在自已主办的”Asian J. of Mathematics＂（亚洲数学通讯）这个在数学界不大有名的杂志上．一来丘可以出口气，自己的＂学生＂完成了补洞工作――奇异点问题的解决，(还有如何在“有限时间内完成几何切割“等问题, 是别人完成的)．用丘的话：＂别人盖好了大楼，我们封了顶＂。是够形象的。但“自创性”的比例是多少，是不是原创性的, 还是只是“润色”性的，都要由别人来验收，来评论。二来因为发表了这篇３００页的大论文，丘的杂志＂亚洲数学通讯＂也将名成业界．真是一箭双雕。

由于丘成桐与陈省身的师徒关系，由于考虑到陈省身曾经对Ricci流做过研究，丘作为陈省身的得意门生，或者说如果不是当年的陈省身授他ＰＨ．Ｄ，如果不是当年陈省身竭力推波助澜使他得到菲尔兹奖，那有丘的今天．真是一日为师，终生为师／父．丘带着弟子感恩的心情在２００６年６月杂志＂亚洲数学通讯＂的扉叶如是写到：

“This is the specisal issue dedicated to the memory of Professor Shiing-Shen Chern（陈省身）,1911——2004” 。

论文的题目是：

＂THE HAMILTON-PERELMAN THEORY OF RICCI FLOW – THE POINCARE AND GEOMETRIZATION CONJECTURES ＂经审稿，该期刊决定将文章发表于 Vol.10,No.2,pp.165–498 ，也就是六月份第一期的 165——498 页。 
   
论文的摘要是：
Abstract. In this manuscript, we provide an essentially self-contained description of the works of Hamilton, Perelman and the others on the Ricci flow and its application to the geometrization of three-manifolds. The manuscript offers a complete proof to the Poincare and geometrization conjectures.
 
如果论文证实无误，就宣告了庞加莱定理得到最终证明 。

丘成桐说，“这是一项大成就，比哥德巴赫猜想重要得多。”此话怎讲？前一句对，后一句值得保留．每一行都有自己的用处. 微分几何代替不了数论. 就象物理代替不了化学. 怎么谁比谁重要?

我们家杨乐含蓄：“这是第一次在国际数学期刊上给出了猜想的完整证明，成果极其突出。”讲的不痛不痒，官味十足，怪不得老杨可以当一国之所长，和数学会的会长．

庞加莱猜想将是2006年国际数学家大会的焦点．据2006年国际数学家大会官方网站介绍，这个有一百多年历史的数学问题可能在即将召开的2006年国际数学家大会上宣布被解决。

一般认为，庞加莱猜想的完成是美国数学家Richard Hamilton, 俄国数学家Grisha Perelman, 和 朱熹平－曹怀东．攻克这个难题不是一百万美元奖金的事，那是攸关于用钱买不来的个人－学派－国家的荣誉．西班牙。8月将举行的2006年国际数学家大会成了人们的期待，看谁能得到本届的菲尔兹奖。

按菲尔兹奖的规矩，４０岁以下．不晓得诸君的年岁，就无从谈起．既然朱８２年本科毕业，可能为40～45之间．一线之隔．而曹怀东是81年毕业, 想必也过了40的年坎. 可能只能拿个"特别贡献奖". 这在菲尔兹奖上是有先例的, 不过我认为, 仅说" 庞加莱猜想"的修补工作，因该很难拿到" 特别贡献奖", 可能要用"基于他在偏微方程, Ricci flow诸领域的长期研究和成就,以及他在庞加莱猜想修补工作上的成果....."来申请该奖项了.

2006年国际数学家大会原定将由两位公认的顶尖拓扑专家 Richard Hamilton 教授和John Morgan教授做大会“一小时"报告。Grisha Perelman博士的证明用到了Richard Hamilton开发的工具, 至今没有正式发表论文。并且Grisha Perelman本人一直不打算出席本届大会，当他被邀请在本届大会上做一小时大会报告时，他竟然懒得回复。也许这就是真天才与众不同之处吧。

然而不容置疑，如果庞加莱猜想成为庞加莱定理――即完全证明了，不论Grisha Perelman出席与否，他和Richard Hamilton 都是人们关注的焦点。现在，由于朱熹平－曹怀东文章的发表---不论正确与否，很多问题大会都要从新来看，来想，来安排。 这一定让国际数学家大会多了不少头疼事，很有可能由于这个突如其来的意外使得这次大会本身也被载入数学史册。

此撅文仅对那些对数学有兴趣的朋友．慌乱之中，一定很多谬误．请雅正.
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＊１）．俄罗斯数学家 Perelman 在 Richard Hamilton 等人工作的基础上，对完成整个 R. Hamilton 　以 Ricci 流为工具的解决方案作出了原创性突破（主要是在 neckpinch singularity 和其它 singularities) ，
http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0211/0211159.pdf
http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0303/0303109.pdf
http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0307/0307245.pdf 

＊２）． Mark Brittenham 关于庞加莱猜想及 Grisha Perelman 的证明介绍文章 .

[杨子]

1. ＂别人盖好了大楼，我们封了顶＂。 是够形象的。但工作的比例是多少，是不是原创性的, 还要别人来评。----- 我这里也是说等待别人的评介.
2. 朱他们做了点小工作, 一是对俄全篇证明的"通读", 二是对俄全篇证明的加点"韵味", 三是对俄全篇证明改稿---"奇异点问题", (至于"如何在有限时间内完成几何切割问题"是别人完成的)
3. "如果论文证实无误，就宣告了庞加莱定理得到最终证明"--
4. 今年数学大会的主题"如果"是 庞加莱定理,不是那么毫无疑问,美国数学家Richard Hamilton, 俄国数学家Grisha Perelman, 一定排在 朱熹平－曹怀东 之前.
5. "不论Grisha Perelman出席与否，他都是人们关注的焦点。现在，由于朱熹平－曹怀东文章的发表，很多问题都要从新来看，想，安排。这一定让国际数学家大会多了不少头疼事，很有可能大会本身也因此载入史册。 " 我指的也是这, 不能来得及去验证朱熹平－曹怀东文章(分量)的事, 让大会说"是"还是"不是"...因此很难办...

[化学键]

不是--> 不少

sorry

[化学键]

杨子的文章写的棒，让我这个外行也了解了数学界的不是故事新闻。

下面的文章，不知杨子读到没有?
http://www.xys.org/xys/ebooks/others/science/report/zhuxiping4.txt