数论人生
数论是一门学科，也是我的人生。有人把酒论英雄，我用数字描天下。
Collatz猜想，是德国汉堡大学一个名叫Lothar Collatz的大学生在1937年提出的问题。说的是一个递推数列，从一个初始正整数a出发，如果是偶数就除以2，如果是奇数就乘以3再加1；那么最后总会落入4，2，1的循环。
问题阐述如此简单，小学生都明白。我经常把它作循环数列的例子讲给小学生听；没有想到，其证明却很难。许多大数学家对此都束手无策。有人甚至用分布式计算机去验算，算到了2的70次方，结论都是对的。我看呢，大家都是走错了方向。
就把上述运算称作一个C运算吧：C（n）= n/2，若n为偶数；C(n) = 3n + 1，若n为奇数。显然，当初始值a为2的幂时，结论成立。下面对区间I(k) = [2^k, 2^(k+1)）用归纳法证明。K = 0时显然。假设当初始值a在区间I（k）中时，结论成立；我们只要证明，区间I(k+1) 中的任何数b, 经过若干次C运算，结果必定落在I（k）或更小的I（j）上。
当b为偶数时，一次C运算就落在了I(k)中；对于奇数b, 把它写为二进制（2的幂次之和），在逐步验算之后，便可知结论成立。我只是验算了几个数，结果都对。
直接计算也是可行的。为此我搞出了一个混合（2, 3）进位制的表数法，为了乘3及除2计算的方便。我们知道有6进制，系数在0到5之间；把6的幂拆为2的幂与3的幂之积，任何一个正整数都可唯一表示为形如a(i，j)2^i 3^j 的一些数之和，其中，系数a(i,j)取值0或1，指数i与j之差小于或等于1，或者i = j+ 2. 有此便可直接证明了。
另外一个有趣的等价提法是，考虑C的逆运算；即从任何一个正整数出发，如果它是6m + 4的形式，就减1再除以3，否则都乘以2. 最后结果有两种：如果是从1，2，或4开始，那就落入循环；其它都是一个等比数列：(3^k)(2^n)，n = 1, 2, 3, …。这也可以用混合（2，3）进位制来验算。
这类问题还可以作推广。搞出个（a, b）混合进位制的表数法，远比解决一个具体问题有意义得多。计算机的验证，纯粹是无聊人的游戏。
