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韩信点兵,欧拉布阵,黑暗无边,信心相随

(2019-06-19 18:20:29) 下一个

所有人的老师-欧拉系列文章:

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  2. 你真的读懂“三体”了吗?执剑人欧拉有特解

  3. 如何抵达四维空间?你知道它存在,但全世界都造不出来

  4. 欧拉大师你错啦!我读书少,你别骗我!

 

 

01

上尝从容与韩信言诸将能不,各有差。上问曰:“如我,能将几何?”信曰:“陛下不过能将十万。”上曰:“于君何如?”曰:“臣,多多而益善耳。”上笑曰:“多多益善,何为为我禽?”信曰:“陛下不能将兵,而善将将,此乃信之所以为陛下禽也。且陛下所谓天授,非人力也。”(选自《史记·淮阴侯列传》)

作为不世出的军事天才,韩信能把各种兵法奇谋玩得飞起,就是不会拍马屁,要是能如韦小宝同志那样常常把鸟生鱼汤挂在嘴边,司马迁同志认为他几乎就是汉朝的周公,召公了。

韩信将兵,多多益善,兵仙韩信的军事才能有多牛是妇孺皆知,千古流传,但是大家可能不知道韩信数学也很牛。

比如这个韩信点兵的故事:

韩信带1500名兵士打仗,战死四五百人,站3人一排,多出2人;站5人一排,多出3人;站7人一排,多出2人。

然后韩信就凭这个,就算出了军队总人数是1073。

有什么秘密?

再来一道趣味算术题,是《孙子算经》里的古题,如果你能解出,穿越回去,你就创造了中国剩余定理,也称为孙子定理。

有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二。问物几何?

即,一个整数除以三余二,除以五余三,除以七余二,求这个整数。

韩信点兵的秘密和中国剩余定理的解法是什么?

南宋数学家秦九韶给出了一般形式,他说,只要背首诗就OK啦:

三人同行七十稀,五树梅花廿一枝。

七子团圆正半月,除百零五便得知。

诗里让人记住这几个数字:3与70,5与21,7与15,还有105(也就是3、5、7的公倍数)。这些数是什么意思呢?

题中3人一列多2人,用2×70;5人一列多3名,用3×21;7人一列多2人,用2×15,三个乘积相加:

2×70+3×21+2×15=233

然后,233加或减105的整数倍,都可能是答案。

后来欧拉重新发现了这个定理(欧拉定理),给出了证明并定义了欧拉函数。

 

在数论中,欧拉函数是最重要也是最基础的一个函数,这个函数的很多性质及其证明虽然基础,但也“烧脑”,家里没有要搞奥数的牛娃,就不要折磨脑细胞,咱们背背诗轻松解决好了。

除了用于点兵,欧拉定理更是非对称加密(RSA)算法的核心。

欧拉关于数论的大部分工作也是在柏林完成的,他的数论著作在他的《全集》中占了整整四大卷,占全部著作的40%,仅这四卷数论著作就足以使欧拉位列历史上最伟大的数学家之一。

 

业余数学家之王费马生前提出了一个非常有名的费马猜想,这个喜欢恶作剧的天才,还给猜想加上了一句名言:「我发现了一个美妙的证明,但由于空白太小而没有写下来。」

从费马到欧拉的100年间,数学界在证明费马猜想方面进展甚微,原因很简单,太难了。

 

西蒙.辛格在《费马大定理:一个困惑了世间智者358年的谜》里这样说:

“费马大定理的故事与数学的历史有着千丝万缕的联系,触及到数论中所有重大的课题。它对于“是什么推动着数学发展”,或许更重要的“是什么激励着数学家们”这样的问题提供了自己独特的见解。”

“费马大定理是一个充满勇气、欺诈、狡猾和悲惨的英雄传奇的核心,牵涉到数学王国中所有的最伟大的英雄。”

欧拉对费马猜想做出了关键性的突破,这个含糊不清的证明从细节上加以完善,并证明了3次幂的无解。

然后直到300多年后,在1995年,才被最后的英雄,英国数学家安德鲁·怀尔斯完证,费马大定理由此确立无疑。

除此之外,费马生前还提出了大量重要而有趣的命题,到今天为止,世界上还没有人能够把它们全部证明出来,只有欧拉证明了其中的大部分。

欧拉在1783年首次发现了数论中最重要的定理之一:二次互反律(高斯定理),并证明了其中一种情况。二次互反律是关于整数的重要性质,有着很优美的对称性,是初等数论中的“七彩宝石”。

在欧拉和高斯的基础上,后来的数学家们为探求二次互反律的含义引申出大量极有价值的成果。

02

普鲁士的腓特列大帝曾想组成这样一支仪仗队,仪仗队共有36名军官,来自6支部队,每支部队中,上校、中校、少校、上尉、中尉、少尉各一名。他希望这36名军官排成6×6的方阵,方阵的每一行,每一列的6名军官来自不同的部队并且军衔各不相同。

令他恼火的是,这些军官怎么绞尽脑汁也排不成。

都说三个臭皮匠,赛过诸葛亮,但是在数学问题上,几千几万个臭皮匠都不顶用。

没法,腓特列大帝只能向数学大牛牛欧拉求救。

欧拉先从最简单问题入手,当n=3 (即有3种部队、3种级别)的方阵,他很轻松排出来,然后是n=4,n=5. 都很轻松就解出,得出的方阵叫欧拉方阵(又叫做正交拉丁方阵)。

 

但是当n=6 时,欧拉发现这是一个不可能完成的任务。

1782年,欧拉总结道:“我已经试验研究了很多次,我确信不可能作出两个六阶的,并且对于10、14,…以及奇数2倍的阶数都是不可能的。”

欧拉认为:4n + 2阶欧拉方阵不存在,这被后人称为“欧拉方阵猜想”。

在没有计算机的年代,欧拉方阵猜想的证明非常困难。

一直到了1910年,一对兄弟俩,法国数学家加斯顿•塔里和赫伯特•塔里用了最笨的方法,(不知道他们哪里来的耐心),穷举出了全部六阶拉丁方,从而证实了n=6时欧拉猜想是正确的:n=6 时,仪仗队是一个不可能完成的任务。

看到没? 最笨的方法也可以在数学史上留名啊,真是世上无难事,只怕有心人。

(现在用计算机已经知道,除了n=2,6以外,其余的正交拉丁方阵都存在,而且有多种构造的方法。这个否定的结果是人们在180年的努力中未曾想到的。)

欧拉方阵体现着数学的美:整齐、对称、有规律、简单、自然…

欧拉方阵在工农业生产,统计、组合设计、模拟、数值积分中均具有广泛的应用;另一方面,欧拉方阵在数学的发展中也有着重要的作用.

但是,最要紧好玩。欧拉没料到,后人居然把欧拉方阵能玩出花来,成为一种从9-99岁的人都无法抗拒的经典数字游戏。

欧拉方阵从瑞士起源,接着在日本推广,后来在英国发扬光大,最终风靡全世界,有了另一个简单好听的名字,数独。

其实欧拉方阵就是没有宫的标准数独,而数独其实正是一种特殊的欧拉方阵。

2012 年,三位爱尔兰数学家证明了数独至少需要 17 个初始数字才有唯一解。他们的计算机花了 700 万小时的 CPU 时间才搞定了这道数独题。

爱好者声称:数独能非常非常锻炼孩子智力。时至今日,数独游戏已经“侵入”了几乎一切公共传播领域:报纸,数独刊物,电视,网络,APP......到处都有数独的身影。

世界智力谜题联合会每年举办一次世界数独锦标赛,是国际性最高水准数独赛事。2018年11月7日,最新一届(13届)世界数独锦标赛,中国队获得团体赛亚军。首次参赛的中国14岁选手王诗尧获得本届比赛最佳新人奖。

捷报让国内又再次掀起学习数独的热潮,你想牛刀小试吗?

 

不过,玩归玩,别走火入魔,比如画中这位主角。

 

德国名画家丢勒的这幅木刻画《忧郁症》(Melencolia)描述的就是一个因为数学患上忧郁症的天使,她手中握着圆规,天平、沙漏等科学工具散落四周,墙上挂着一个四阶幻方,也就是四阶数独。在最下面一行的中间两格,画家留下了神秘数字1514(据说是创作年代,或者是他母亲去世的年代)。一只蝙蝠举起横幅,上面写道:忧郁症。

03

如同我们八过的天才帕斯卡,特斯拉和冯.诺依曼,欧拉也同样拥有天才的标配--超级记忆力,他可以从头到尾、毫不犹豫地背诵维吉尔洋洋十二卷的国民史诗《埃涅阿斯纪》,并能指出他所背诵的那个版本的每一页的第一行和最后一行是什么;能背诵当时全部的数学公式和所有重要的数学成果;能背诵前一百个质数的前十次幂;能够复述几十年前的工作笔记!

1771年圣彼得堡的大火灾殃及欧拉住宅,双目失明的欧拉身陷大火,虽然他被仆人冒着生命危险从火海中救了出来,但藏书和大量研究成果全部化为灰烬.

“如果命运是块顽石,我就化为大锤,将它砸得粉碎!”欧拉的这句名言响彻千古。

 

欧拉的大锤就是他天才的记忆力,坚强的意志和毅力,即使一切从头开始,在资料被焚,双目失明的情况下,欧拉仅仅依靠记忆中的公式和定理,口授给他的长子记录。他用这种方法又发表了论文400多篇和10余部著作,这几乎占他全部著作的半数以上。

他人生中一半的浩如烟海的著作,都是在黑暗中完成的,这是何等惊人的毅力。

如果你真的需要鸡汤,读读欧拉吧,他给你的才是最有营养的。

四十年前,顾城在《一代人》中呼喊:黑夜给了我黑色的眼睛,我却用它寻找光明。穷极一生,顾城至终都没有找到。

而欧拉,黑夜夺去了他黑色的眼睛,他的心中,依然是无上光明

他完全是依靠惊人的记忆和心算能力进行研究和写作。

欧拉的两个学生因为计算一个无穷级数答案不一样而发生争执,失明的欧拉用心算找出了小数点后第50位的错误,结果证明这两个学生都算错了。

10瑞士法郎纸币纪念欧拉 

在没有计算机的年代,梅森素数的寻找是相当困难的,在1588年意大利数学家卡塔尔迪(1548-1626)找到了第六个和第七个梅森素数M17和M19之后,两百多年没有任何进展;直到 1772年,欧拉在双目失明的情况下,仅靠心算得到了第八个梅森素数M31,是当时世界上已知的最大素数。

1776年,陪他历经患难的妻子与世长辞。

「在世上有苦难,在我里面有平安;你们可以放心,我已经胜了世界。」(约16:33),面对世上的苦难,欧拉留给我们的名言是:『只有对上帝的信心,陪我走过这些苦难的日子。

1783年9月18日,晚餐后,欧拉和家人一起吃晚饭,谈论着新近发现的天王星,计算着轨道,突然之间,烟斗从他手中掉了下来。他说了一声:“我的烟斗”,并弯腰去捡,结果再也没有站起来,他抱着头说了一句:“我死了”。「欧拉停止了计算和生命」。

欧拉去世后被安葬在圣彼得堡的亚历山大 • 涅夫斯基修道院墓园。在欧拉的家乡瑞士巴塞尔的里恩,他的故居墙壁外有一块小小的牌匾, 上面铭刻着这样一句简短的评价:『他是一位伟大的学者,也是一个善良的人』。

欧拉出生在瑞士,而后在俄国做了31年的院士,又在德国领导了柏林科学院25年。三个国家:瑞士、俄国、德国,都把欧拉作为自己的数学家,都为拥有他而感到自豪。三个国家都争先恐后地让欧拉无数次出现在他们国家的邮票上:

 

数学王子高斯曾经说过:“对于欧拉工作的研究,将仍旧是数学人能上的最好的无可替代的学校。”

直到今天,欧拉依然是无可替代的,他那苦难而黑暗的一生,却神奇地让数学和物理绽放出耀眼的光芒。

欧拉不仅属于瑞士,更属于整个世界。

 

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