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称球智力题之称的次数与可检验球个数之间的关系
用一架天平三次检验十三个球的趣味题被人称为世界上最好的智力题。是否最好尚难定论，但至少是很有趣味。有人以不同方式推导出允许称的次数与可检验球的个数之间的函数关系式，以下是笔者之推导过程。
原题： 有13个钢球，特征相同，其中有一个重量异常，但不知是偏重还是偏轻，要求用一架没有砝码的天平称三次，找出那个重量异常球。
解答：
第一节 3次称13个球
左右边各放4个，旁边留5个。
1，平衡，则坏球在旁边的5个当中，再称2次即可找出坏球，方法如下：
从这5个未知球中拿出3个放在天平的一边，就左边吧，从已确定的8个好球中拿出3个放在右边，称。
（1）若平衡，则5个未知球中余下的2个为可疑球。取任意1个可疑球与1个好球相称即可找出坏球。
（2）若不平衡，并且，
（a）左边重，则坏球在左边的3个当中，而且坏球比正常球重。取3个可疑球中的2个分别放在天平的两边相称，重者为坏球。如平衡，则余下的一个可疑球为坏球。
（b）左边轻，则坏球仍在左边的3个当中，但坏球比正常球轻。取3个可疑球中的2个分别放在天平的两边相称，轻者为坏球。如平衡，则余下的一个可疑球为坏球。
2，不平衡，则旁边的5个为好球，坏球在天平上的8个当中。
设左边重，从左边（重的一边）拿出3个放在旁边，从右边（轻的一边）拿出3个转移到左边，从已经确定的5个好球中拿出3个加在右边，此时，每边仍为4个，但内容变了，称。
（1）平衡，则坏球在从左边拿出的3个当中，而且坏球比正常球重。只需再称1次即可找出坏球（方法参见前文红色部分）。
（2）不平衡，仍然是左边重，则拿出的3个和由右边转移到左边的3个都是好球，坏球在左右边未挪窝的2个当中（左右边各1个）。再称1次即可找出坏球（方法参见前文蓝色部分）。
（3）变成左边轻，则拿出的3个和左右边未挪窝的2个都是好球，坏球在由右边转移到左边的3个当中，而且坏球比正常球轻。只需再称1次即可找出坏球（方法参见前文绿色部分）。
3，当第一称不平衡时，上述第二步的方法有多种，其基本原理是将可疑球分为3，3，2三组（若另有一标准球，也可分为3，3，3三组），其中两组可能包含的坏球可知其偏重或偏轻，而第三组如包含坏球则仍不知其轻重。
有人提出，如允许称四次可检验多少个球？称五次或更多次数呢？
第二节 4次称40个球
第一次，左右边各放13个，旁边留14个。
1，平衡，则两边共26个为标准球，坏球在旁边的14个当中，再称3次即可找出坏球。
左边放5个待检球，右边放4个待检球和一个标准球，旁边留5待检球。
(1)，平衡，则坏球在旁边的5个当中，再称2次即可找出坏球，方法参见第一节。
(2)，不平衡，则旁边的5个为好球，坏球在天平上的9个待检球当中。
设左边重，从左边（重的一边）拿出3个放在旁边，从右边（轻的一边）拿出3个转移到左边，从已经确定的5个好球中拿出3个加在右边，此时，每边仍为5个，但内容变了，称。
(a)，平衡，则坏球在从左边拿出的3个当中，而且坏球比正常球重。只需再称1次即可找出坏球（方法参见前文红色部分）。
(b)，不平衡，仍然是左边重，则拿出的3个和由右边转移到左边的3个都是好球，坏球在左右边未挪窝的3个当中（左边2个，右边1个）。再称1次即可找出坏球，方法为：取未挪窝的左边2个球，分别置于天平两边相称，重者为坏球。如平衡，则右边那个未挪窝的为坏球。
(c)，变成左边轻，则拿出的3个和左右边未挪窝的3个都是好球，坏球在由右边转移到左边的3个当中，而且坏球比正常球轻。只需再称1次即可找出坏球（方法参见前文绿色部分）。
2，不平衡，则旁边的14个为好球，坏球在天平上的26个当中。
设左边重，从左边（重的一边）拿出9个放在旁边，从右边（轻的一边）拿出9个转移到左边，从已经确定的13个好球中拿出9个加在右边，此时，每边仍为13个，但内容变了
，称。
（1）平衡，则坏球在从左边拿出的9个当中，而且坏球比正常球重。只需再称2次即可找出坏球（方法另文详述）。
（2）不平衡，仍然是左边重，则拿出的9个和由右边转移到左边的9个都是好球，坏球在左右边未挪窝的8个当中（左右边各4个）。再称2次即可找出坏球（方法参阅第一节）。
（3）变成左边轻，则拿出的9个和左右边未挪窝的8个都是好球，坏球在由右边转移到左边的9个当中，而且坏球比正常球轻。只需再称2次即可找出坏球（方法另文详述）。
第三节 5次称121个球
第一次，左右边各放40个，旁边留41个。
1，平衡，则坏球在旁边的41个当中，再称4次即可找出坏球（参阅第二节）。
2，不平衡，则旁边的40个为好球，坏球在天平上的80个当中。
设左边重，从左边（重的一边）拿出27个放在旁边，从右边（轻的一边）拿出27个转移到左边，从已经确定的39个好球中拿出27个加在右边，此时，每边仍为40个，但内容变了，称。
（1）平衡，则坏球在从左边拿出的27个当中，而且坏球比正常球重。只需再称3次即可找出坏球（方法另文详述）。
（2）不平衡，仍然是左边重，则拿出的27个和由右边转移到左边的27个都是好球，坏球在左右边未挪窝的26个当中（左右边各13个）。再称3次即可找出坏球（方法参阅第二节）。
（3）变成左边轻，则拿出的27个和左右边未挪窝的26个都是好球，坏球在由右边转移到左边的27个当中，而且坏球比正常球轻。只需再称3次即可找出坏球（方法另文详述）。
第四节 如果已知坏球是偏重或偏轻
如果已知坏球比正常球重或轻，则称1次可检验3个球，方法可参见第一节红色或绿色部分。
称2次可检验9个球。方法如下：
若已知坏球比正常球重。每边放3个，旁边余3个。
1，平衡，则坏球在旁边的3个当中，方法可参见第一节红色部分。
2，不平衡，则坏球在较重的一边3个当中，方法参见第一节红色部分。
称3次可检验27个球。方法如下：
若已知坏球比正常球重。每边放9个，旁边余9个。
1，平衡，则坏球在旁边的9个当中，方法可参见前段。
2，不平衡，则坏球在较重的一边9个当中，方法参见前段。
显而易见，称的次数对应于可检验的个数是一个等差数列和一个等比数列，即1、2、3、4……与3、9、27、81……。设称的次数为X，可检验的个数为Y，可得出二者的关系为：
Y = 3x
第五节 允许称的次数与可检验球的个数之间的关系
由第一、二、三节的过程可看出，每当称的次数递增一时，第一步放在旁边的球的个数等于少称一次可检验的总个数加1，例如，称3次可检验13个球，称4次程序的第一步就是先取14个球放在旁边。
还可看出，第一称每一边放的球个数是这样一个递增数列：4，13，40，121……。稍微注意一下，便可看出每两个相邻数的差为以下等比数列：
9，27，81……。在此等比数列前面再添加二项，就变成1、3、9、27、81……。而这个数列的前n项之和就恰好构成了前述第一个数列，即1+3=4，1+3+9=13，1+3+9+27=40……。由此我们可以发现规律，允许称的次数与可检验球的个数之间的关系为：
称3次可检验球的个数：2(1+3)+5=13
称4次可检验球的个数：2(1+3+9)+14=40
称5次可检验球的个数：2(1+3+9+27)+41=121
……
设称的次数为n，可检验球的个数为m，不难看出二者的关系为：
m=(3n-1)/2
这就是称的次数n与可检验球的个数m之间的函数关系式。
