一道奥数几何题的几种不同思路（微信群讨论总结）

朋友（著名新浪博主）万精油在微信群里转了一道几何题，说是在微博上看到的小升初题目。我觉得这题如果真是小升初就有点难，不过还算是初中几何内容。我把这个题目发到我们的数学科学竞赛微信群和其他一些各地家长群中（共有30多个群），看看大家都怎么做。微信群里的对话和讨论总结如下：
我：今天给大家出个初中几何题（从朋友处转来，据说是小升初，不知是真是假）。题目如图（为讨论方便重新画的），AB是一个半圆的直径，CDEF和CGHK都是正方形，已知半圆的半径等于1，求两个正方形的面积之和。

（我们是真正的“日不落”微信群，成员遍及全球，群里藏龙卧虎，题目一出现，反响激烈，一分钟之内几十位家长和学生给出了答案：就是“1”！我加了一句：“光说答案不算数，要有过程！”大家又纷纷给出了解答过程，有快有慢，最快的三位家长大概是推娃训练有素，SAT以及AMC答题技巧信手拈来，给出了三种特殊情况）
家长A：题目里可没有说两个正方形分别有多大，那就假定一样大吧，剪切一下就是一个大正方形，边长就是半径，面积等于1。

家长B：题目要算两个正方形的面积之和，又不告诉边长，那肯定是无论两个正方形怎么变，面积和都一样。所以我也取个特殊情况，先把一个正方形放到最大，另一个再加上去，剪剪切切也是1。

家长C：题目也没说正方形一定要在半圆内部啊，我就取个极端情况吧，大正方形就以半径为边了，小正方形大小为0，答案也是1。
我：打住，打住！咱们还是不要用这种快餐式答题好吧？特殊情况用来猜答案做参考，是可以当作一种方法，但是不算完整的解答。选择题的应试技巧，现在的孩子们学得太多，快餐式答题，对学数学没什么好处。会猜数的孩子不少，因为美国数学教育大部分都是只看答案，所以孩子从小养成只会猜数的坏习惯，竞赛答题也一样，算一算特殊值，有了选择就完事大吉。作为应试技巧，我们也会在考前教一些，不过只是为了提高几分，不代表真正学到了数学。所以平时我们留作业，一般都要学生写解题过程。对这道题来说，如果能从数学上证明正方形大小不影响结果，在此之后再假定两正方形一样大或其他特殊情况，就算是可以接受的解法了。
（这时候又一位家长贴出了解答。）
家长D：取圆心O，连OH和OE，则OH和OE都是半径，所以长度都等于1。设两个正方形的边长分别是a和b，CO的距离是x，就可以用勾股定理列方程：
a^2 + (a+x)^2 = 1
b^2 + (b-x)^2 = 1
下面是解方程的技巧。两式展开后相减，
2(a^2 - b^2) + 2(a+b)x = 0
解出x = b - a。代入第一个方程，得到
a^2 + b^2 = 1
这代表两个正方形的面积之和等于1。

我：这个解法好！不过初中几何用代数方程来解，还是复杂了一些。有没有纯几何的方法？
家长E：大家看看这样解行不行：把两个正方形的底边换个位置，就是在CD上取一点M，让MD等于小正方形的边长a，那么KM就刚好等于大正方形的边长b。这样一来两个直角三角形HKM和MDE是全等的，因此MH等于ME。因为H和E都是圆上的点，而M在直径上，这说明M必须是圆心。于是和前一个解法一样得到
a^2 + b^2 = 1
所以答案是1。

我：好！这个思路很直观，适合初中生。还有别的方法吗？
家长F：我的孩子用的是坐标法。
家长G：三角函数也可以！
家长H：用复数！
……
（过了好几天，仍然有家长在群里分享解答）
我：大家真是八仙过海，各显其能啊！同学们的解法都非常好！看来各位家长不仅善于推娃，自己也非常努力。除去猜数的方法之外，常规的解法大家分享了不少，可以归结为两大类，一类是硬算的办法，从圆心出发连线列方程，巧解代数方程给出答案；另一类是纯几何，把两个正方形的底边互换位置后发现新的分点就是圆心，对题目中的几何形状的关系有更深刻的理解。两者可以说是殊途同归。这道题先告一段落，感谢各位的踊跃参与，我们经常在群中分享题目，欢迎大家继续参加！

加入数学科学竞赛微信群，可以扫码加我微信：