-*-紫色王家思絮絮-*-
我思无邪、我行无悔
正文
（三） 费马-----黄裳
金庸先生的《射雕英雄传》中，当时江湖五绝，南帝北丐、东邪西毒、中神通数次华山论剑，争夺的就是一本名唤《九阴真经》的武林秘籍。此书得天下武学之精髓，习练者可立于不败之身。而此秘籍的作者，便是黄裳。
此人虽然自身修为极其了得，然而他却不是科班出身的大侠。原来当年宋徽宗政和年间，命普搜天下道家之书，作为合集雕刻出版。此时黄裳本一文官，被委派此任 务之后，整天担心稍有纰漏即遭杀头之罪，因而一直逐字逐句的研读。进而悟得天下道学，以及武功中的高深道理。成为一个业余出身，专业水准的高手。
皮埃尔.费马(Pierre de Fermat, 1601－1665)就是数学江湖中的黄裳。他是整个数学史上最重要的业余爱好者，没有之一。在还未发生知识大爆炸之前的近代数学中，他至少对其中四个方 面有着伟大的贡献-----要知道，这就意味着他的工作几乎涵盖了当时数学的一切。如果把牛顿算作18世纪的数学家----他一生有三分之一的时间生活在 18世纪，那么，尽管我们前面见证了笛卡尔的伟大，我们还是要把【17世纪最伟大的数学家】这一桂冠，赐予费马。
另一种说法是，作为一个【纯数学家】，费马将至少与牛顿相当。当然这是富有争议的结论，然而可以与牛顿并驾齐驱的引起人们的争执，这在科学史上也只有约莫一打人有这样的资格。
费马的杰出还不尽于此。跟黄裳一样，他也留下了一样东西，一样让整个江湖为之奋斗、为之争论、为之拼搏的东西。这是一个数学命题，通常称为【费马大定理】 或者【费马最后定理】(Fermat’s Last Theorem)。显然，在定理前的那些形容词，就能很好的说明这个命题所带来的一切了。从来没有其他数学命题被称为“大的”，或者是“最后 的”-----人们一定潜意识中认为这是最后一个没有得到证明的命题了。
费马大定理或许不是世界上最难的难题，但绝对是世界上最有意义的难题之一。它具有小学生都能理解的形式与美，却关系到一个极其普遍的性质，同时又具有火星 般的难度。希尔伯特曾说：“这是一只下金蛋的母鸡。”------意即在试图证明费马大定理的过程中，产生出来的那些新思想、新理论、新方法都是极其有意 义的。
这个定理牵涉到的故事，横跨三个多世纪，其中包含了巨额奖金、绝望自杀、与世隔绝、争吵补救等等一切八卦、故事、小说等所需要的一切猛料要素。某种意义上 说，就像《九阴真经》已经脱离黄裳，而作为江湖中的传说而独自存在一样，费马大定理被视为对人类智能的一种挑战，已经脱离费马，独自构成了自己传奇的篇 章。
关于它的整个故事，需要另一本书专门阐述才能淋漓尽致。因此我会在后来叙及费马在数论领域的贡献时，尽量简要的介绍一些，除此之外，我们还是把目光转回到费马，以及他其他同样伟大的工作上。
费马1601年8月出生在法国的一个贵族家庭，靠近图卢兹-----一个非常宁静美丽的城市。他名字中的【de】即表明他是当时的【穿袍贵族】 (l’aristocratie de robe)，而这种头衔大多是靠资产买来的，可以世袭并且不用交税赋，这表明他家境的富裕。
然而，这也注定费马要从事贵族的职业，履行所谓贵族的义务(Noblesse Oblige)。于是，从图卢兹大学毕业后，费马就成为了一个地方行政官员----相当于我们所说的公务员----过着四平八稳的生活，避开所有无意的争执，一直到去世，都是这样。
关于费马学生时代的记录非常少，因此我们并不知道他有没有特殊的才能在学习中表现出来。但根据他之后取得的成就来看，费马应当是十分出众的。他的拉丁文、法文、西班牙文都是大师级的，他对其他欧洲大陆的语言也有着非凡的造诣，这可以从他之后的通信中看出来。
人文方面，他对希腊和拉丁哲学进行了几处重要的修正，他甚至能用好几种语言写出精美的诗。并且，他对文学作品的评析，也显示了他熟练的文字技巧和精湛卓越的鉴赏能力。
如果说笛卡尔一生都在追求安宁，那么费马则是一生都在享受安宁。他连升迁也是慢条斯理，按部就班。他在1631年6月1日结了婚，17年后由接待官升为了 图卢兹地方议会的议员，然后再在此职位上干了17年，直到去世的那一天。他为官非常和善清廉，很受当地群众欢迎，只不过政绩平平。然而，我们有充分的理由 相信，费马一定是把他的才能都用到另一个领域了，议员对他来说，无非只是一个头衔而已。他也并不排斥自己的工作，在他看来，自己只是一个沉迷在自己业余爱 好中的普通官员。
我们要感谢上帝赐予的幸运，让笛卡尔在战斗中活了下来；同时也要感谢他的公正，让费马有机会把他的天才留给数学。费马作为一个平庸的行政官员，一直工作到1665年1月12日。当时，他还在处理卡特雷城的一件案子。两天之后，他就在这座小城里平静的去世了。
虽然这个诚实、和气、谨慎、正直的人一生没有什么波澜，但他却有着数学史上最美好的故事之一。
在我准备正式介绍费马的工作时，我发现我还是漏了一些他的闲闻轶事----幸而还不算太多。其中比较搞笑的是，1652年费马其实“死”过一次。这并不是什么由死复生的神话，而是一个医学奇迹加上一个糊涂的朋友所主演的一场喜剧。
彼时正是黑死病肆虐的时期，没错，就是电影《夜访吸血鬼》中那场令人毛骨悚然的瘟疫。无数人在非常痛苦的情形下死去，浑身布满黑斑----这就是俗称的“鼠疫”。费马很不幸也染上了这种致命的疾病，并且奄奄一息了。
于是他的一位朋友伯纳德.梅当（Bernard Medon）对外宣布费马已经死了。但费马在当初的医疗条件下，居然又神奇的康复了过来。于是他这位性急的朋友只好重新发过一份公告来纠正之前的失误：” 很抱歉我前段时间曾通知您费马逝世。他仍然活着，我们不再担心他的健康。瘟疫已经不在我们中肆虐了。”
这一定是神之干预。大概上帝也还想看到费马的数学，所以他留下了我们的天才。从那之后，费马更是低调。其实他之所以能做出那么多工作，与他的工作也还是有 关系的。当时，国家要求所有地方的议员避开一切党团的混战和不必要的应酬，以避免在履行职责时受贿而堕落。话说这正类似于我们现在的【反腐倡廉】，费马就 这样得到了大把的空闲时间。
那时，整个法国做科学研究尤其是纯理论研究的一项特点是尽量保密、拒绝交流。这是与现今完全相反的状况。但他们是有理由的。首先17世纪的数学在社会上还 远远没有如今的地位，绝大部分数学家----哪怕是职业数学家----都要为自己的经费，乃至生活费而奔忙。话说这跟国内现在的状况也比较相象。在这种大 背景下，成果成了数学家自己用来交换生活质量的一种货物，成了不能轻易示人的独门手艺。
另一方面，16世纪之前，绝大数学家前身都是Cossists。这是一种职业的名称，受雇于商人和实业家，用来解决一些复杂的会计问题，相当于现在的精算 师。因此，数学和某些解题的方法就成了民间秘方一样，不仅仅是他们谋生的手段，也给他们带来独一无二的声誉。一般情况下，保密自己的成果已经是当时行业里 不成文的规矩，一旦遭到破坏，往往带来剧烈的争吵甚至敌对。
一个显著的例子就是关于卡尔达诺（Girolamo Cardano）的禁书《大衍术》(Ars Magna)。这本书主要描述了一些虚妄飘渺的炼金术和不着边际的仪式，但也第一次引入了虚数的概念和讨论了一些博弈的问题。在此之外，他还披露了一个可 以迅速求解3次方程的方法-----而这是他十年前从一个朋友塔尔塔利亚(Niccolo Tartaglia)那里获得的。结果，后者勃然大怒，断绝了与卡尔达诺的所有关系，并掀起了非常激烈的争吵。
总之，这样的例子只是让当时的数学家们更加的守口如瓶。这时，还好有一个人改变了这一切。这个人在笛卡尔那章有过短暂的出场---所以可见每个龙套都不可以忽视，都有自己的贡献与故事----这个小角色就是掌握笛卡尔在荷兰行踪的神父，梅森。
梅森作为一个数学爱好者，对数论有过一丁点儿贡献；但作为一个规则破坏者，他对数学却有着很大的贡献。而且后来的种种情形显示，梅森不遵守这种保密性，确实没有任何私心。他数学上的才能也许很普通，然而其人格高贵并不逊于任何的大数学家。
由于梅森的神父身份，所以他和很多当时的大数学家都有频繁的书信联系----那个时候宗教就是高于一切的力量。他自己同时也研究数论，并向其他的修士和修 女讲课。但当梅森在巴黎主持一个米尼姆修道会时，他看到那些与会的数学家们对自己的成果，总是吞吞吐吐，遮遮掩掩，仿佛一个青涩的姑娘。他感到很悲哀，并 下定决心要打破这种阻碍科学的坚冰。
他开始鼓励数学家们交流自己的思想，促进互相的工作。同时，他定期安排会议----这个小组后来成了法兰西学院的核心和前身-----而当有人因故缺席 时，他就会把此人的信件、或者是文章，公诸于众，让他的成果得以被小组所熟知，这样其他人就可以从这里继续前进，去研究更深一步的问题。
虽然这种行为在我们现在看来非常理性的，然而在当时，尤其是一个穿修道袍的人神父，这样做并不符合其职业道德。后来，笛卡尔便因此和梅森闹翻了。但在笛卡尔遭到教廷的质疑时，梅森依然为他而辩护。
闲话休表，言归正传。当时费马也与梅森神父保持着频繁的书信联系，但费马的低调在整个数学史上都是最显著的。他无论如何也不愿意公开出版自己的任何成果和 发现，这可能是一种贵族的固执。同时也因为，公开发表和被人们承认对费马来说毫无意义，他已经是一个成功的社会人士。
数学对他来说，尤其那些没有被别人发现的美妙定理对他来说，是一生中重要的愉悦的来源，他可以在自己的时间里做做数学就已经很满足了。
虽然这种对数学的单纯的追求和热爱，如今依然值得我们提倡。但费马确实没有意识到，如果有用的数学研究和成果没有被及时发表，那么损失的，将不仅仅是个人的荣誉，而会拖慢整个时代数学前进的步伐。
但在梅森神父的组织下，费马开始与其他人数学家通信了。这导致了两个后果。一是好几个人和他闹僵了----并不是出于他的态度，费马一直是一个谦谦有礼、 平和冷静的绅士----而是费马那种类似于【挑逗】的意味。而这也是他最大的一个特点。他总是喜欢叙述他最新的定理，但是不给出证明。我只能说，这也许就 是费马给他平淡的生活带来的【天才恶作剧】吧。
他这种把解答藏起来的习惯，惹恼了不少同行，也引诱这无数的后来人，就是单凭着好奇心，也要去寻找他的证明。这其中就包括费马大定理。而被挑逗到发飙的大 人物中，就有我们的军人，笛卡尔。事实上，笛卡尔和费马不止争论过一次，而是好几次。但后来的事实证明，费马几乎每次都是对的。我们的律师用沉着冷静打败 了急躁易怒的将军。
笛卡尔有一次气急败坏的说：“费马是个加斯科尼人，可我不是。”言下之意就是费马无非是个“吹牛者”。虽然如此，费马这种习惯对自己而言，还是有一定好处 的。这样他就无需去再花上大量时间，来完善自己的解法，反而能更迅速的投入到下一个问题的思考。另一方面，由于证明一旦公布，任何人都可以对其进行仔细的 研究和探讨，那么将其隐匿就意味着，无需承受那些出于嫉妒而挑刺的折磨。
虽然如此，费马与其他人的通信依然带来了好的成果-----他与帕斯卡的通信，让两人共同创立了【概率论】这门学科的理论基础。而且，就费马去世后出版的记录来看，他完全有能力单独完成这一工作。
然而，既然说到了帕斯卡，我们有必要略窥一下17世纪这个早逝的天才。他的一生，论传奇性，绝对不逊于笛卡尔与费马。
他在数学上的贡献，不如笛卡尔和费马这两个同时代人。然而这是由于，他的惊人天赋并没有完全用在数学领域上。我们不能说这是一种浪费，他也确实在实验科 学、文学、神学宗教等方面都做出了第一流的工作。然而若帕斯卡能够保持他对数学的激情，和自己的身体健康久一些的话，我们的数学也许要前进好几年。
而他的生活，则绝对是好莱坞大片。里面有天才、美女、酗酒、争执（又是与笛卡尔，看来丫和同行关系不好）、宗教狂热、英年早逝甚至有【兄妹乱/伦】。直至如今，帕斯卡也依旧是某些弗洛伊德主义者的研究对象。
帕斯卡(Blaise Pascal)，1623年6月19日出生于法国中南部的克莱蒙费朗(Clermont-Ferrand)。这个小城是中南部奥佛涅(Auvergne)的省府，很多建筑由黑褐色Volvic火山岩建成，别有一番风味。
如果说笛卡尔和费马这两个法国同胞，人们对他们早期知道的并不多，而认为他们青少年时并没有展现自己异于常人的才能，那么帕斯卡就是数学史上确切记载的，第一个早慧型天才----就是我们现在所说的【神童】。
但同时，帕斯卡也是【数学天才总是容易早逝】这个说法的由来。他一共只活了39年，不过后来大量的事实证明，这个论断绝对是错误的。
帕斯卡童年的大部分轶事能流传至今，得益于他那两个宠爱他的姐妹，吉尔伯特(Gilberter)和雅克丽娜(Jacqueline)的大肆宣扬---- 其中后面那个后来还与他有扯不清的暧昧关系。当然，帕斯卡完全值得这样的宣扬，他的才智----如果我们客观的评价----超过笛卡尔，甚至也许超过费 马，然而他只在一生中的前25年对科学保持了兴趣---虽然概率论的创立发生在他31岁，然而那时他已经早就不把科学放在第一位了----而且还不是全力 以赴。
帕斯卡的父亲是个艾帝纳(Etienne Pascal)是克莱蒙主管税收案件的最高法院院长，也是当时法国小有名气的数学家和拉丁语学者。帕斯卡的母亲安托瓦妮特(Antoinette Begone)在帕斯卡不到4岁就因病去世了。1631年，艾帝纳全家迁徙到巴黎，并开始与法国其他科学家通信，其中包括大帕斯卡27岁的笛卡尔，射影几 何的主要创立者之一德萨格(Girard Desargues)等等，后来这两位与帕斯卡也都有交流。
一开始的时候，帕斯卡老爸并不希望他过早的接触数学。大概是觉得未成年的孩子，如果一旦痴迷在数学中，则很容易用脑过多而伤害到他们的身体----可悲的 是，这个结论对帕斯卡来说，今后竟如魔咒般成为事实-----不过如同我前面所说，帕斯卡这种人，是被数学所召唤，注定要研究数学，并成为一个伟大的数学 家的。
在很轻松的就掌握了古典文学之后，大约在帕斯卡12岁的时候，他的好奇心终于导致他做出了逆反的举动。他缠着他老爸，无论如何也要知道，到底什么是几何？ 那时笛卡尔的成果还没有广泛传播，于是几何也就几乎等于欧几里德的古典几何。他爸抗不住孩子的热忱，非常清晰的给帕斯卡上了一课。
然后，帕斯卡就完全着迷了。并且，他的传说也就开始了。他仅仅听了老爸的讲述后，就完全依靠自己的创造力，没有任何书本的提示，就证明了【三角形内角和等于两个直角】。任何一个学过数学的人，都知道这样的表现意味着什么，何况是艾帝纳那样有数学涵养的专家。
他哭了，并且立马意识到自己的儿子是个天生的数学家。接下来，《几何原本》成了帕斯卡的第二本圣经。他时时刻刻都捧着它，以非常快的速度就完全掌握了里面 所有的内容。到14岁的时候，他已经被允许参加梅森神父----如果你们还记得他，就是那个科学隐私的破坏者----的讨论小组。这是法兰西科学院的开 端，所以相当于，帕斯卡曾是科学院所拥有的最年轻的会员。
想象一下如果是现代，14岁左右的孩子在干什么？打闹，玩耍，看电视卡通，听流行音乐。帕斯卡呢？他玩几何，是的，几何对他来说，从来就不是任务或者家庭作业，而是一种娱乐。
在精通了古典几何之后，帕斯卡开始研究他最喜欢的【圆锥曲线】。大约2年后，他就做出了伟大的成果。这是整个几何领域最美妙的一个定理，并且任何人都可以轻松理解，即现在被命名为的“帕斯卡定理”。
我们可以简要的叙述一下这个定理。在这之前，我们先看看什么是圆锥曲线。这样想象，一个圆锥通过其顶点向两方无限延伸，然后，用一个平面去截这个圆锥，那 么平面在锥面上截出的曲线，就叫【圆锥曲线】。它包含五种可能：1.圆 2.椭圆 3.双曲线 4.抛物线 5.两条相交的直线。
然后，我们的帕斯卡定理是说：任意一条圆锥曲线，比方说，一个圆，在它的边上，任意标出6点ABCDEF。然后按次序把它们连起来，那么我们就得到了一个 内接于圆的六边形。然后选择任意【三对】相对的边，比方说，AB与DE,BC和EF,CD和FA是相对的边。然后我们延长AB与DE,使它们相交于一点， 比方说A’；同样的，我们使BC与EF相交于B’；CD与FA相交于C’。
那么，帕斯卡的结论是，A’,B’,C’三点在一条直线上，即这三点共线。了解上述解释之后，现在我们可以用一句话来概括这个定理了：“圆锥曲线内接六边形的三双对边(所在直线)的交点共线。”
先不说这个定理如今的难度，但是它那奇妙的性质，首先它要求很少的条件。圆锥曲线，和曲线上的点，都是可以任意取的。然后共线也是几何中最美妙的性质之 一。同时，定理还显示，在圆锥投影下，这个性质是稳定的即不变的----而古典几何里图形的【度量性质】并没有这样的稳定性。
而这一切，都是由一个16岁的少年发现的。更令人惊奇的是，帕斯卡在证明这个定理的过程中，用到了一种全新的几何。（当然德萨格也用过，但对那个时代来说，这依然是全新的。）
他先证明了这个定理对一类圆锥曲线成立，比方说圆。然后他通过【投影】证明它对任意其他圆锥曲线也成立。那么你会问，这种几何新在哪里？请注意，任何角 度，或者线段的长度，在这个定理里都是无关紧要的。因而这不是【度量的几何】，而是一种【画法几何】，或者叫做【射影几何】。在帕斯卡的几何里，没有“数 量”的概念----这就是它本质上与希腊几何不同的地方。
这还没有完。帕斯卡在证明这个定理之后，难以置信的迅速前进，写出了他的第一本著作《关于圆锥曲线的短论》，里面包含了400多个关于圆锥曲线的命题。其 中包括我们在阿基米德那章提到过的阿波罗尼乌斯的绝大部分工作，也有德萨格的一些结论。在这个16岁孩子的书里，这些都被作为一个完整系统的一部分，以推 论的形式而演绎得到。
这本书现在失传了，但它在梅森的小组里，迅速引起了轩然大波。笛卡尔又要登场闹事了。
很显然，帕斯卡《短论》中的几何，受到了德萨格工作的影响。因而帕斯卡对这位导师亦非常赞赏和尊敬。这类全新的射影几何，在处理某些透视问题时，是非常有 力的。进而对建筑、工程方面，也有极大的作用。-----笛卡尔这样的人，不会不知道它的价值。当老帕斯卡把儿子的著作拿给笛卡尔看时，他很快就惊呆了。
一方面，他给予了《短论》极高的评价，但同时，他坚决不信----直到最后也没有信，就是军人的固执-----这是一个16岁的孩子的成果。
帕斯卡对这种质疑感到非常恼怒。他反唇相讥笛卡尔的解析几何，也并没有什么价值。----显然这个结论近于荒谬，然而考虑到一个天才不被承认的愤怒，这个判断也不算很过分。事情本来还要闹下去，这个时候，老帕斯卡惹了麻烦。
也许帕斯卡老爸就是不知道“识时务者为俊杰”这样的古话，丫笔直的脊梁得到了赞誉，然而却要全家逃离巴黎。你说到底这到底是悲剧还是值得宣扬？事件的起 因，乃是在一件强行征税的案子上，老帕斯卡要维护普通市民，而和红衣主教黎赛留----没错，这家伙前面也出场了，就是支持笛卡尔出版其著作的那位宗教老 大----闹翻了。
要说老帕斯卡也是真有种，当时可是宗教统治一切的年代。而黎赛留正是整个法国教区的头头。结果红衣主教一动怒，帕斯卡一家只好跑路。但所谓“车到山前必有路”，于是有女儿---还是美女女儿----的老帕斯卡便“柳暗花明又一村”了。
据坊间传言，为了挽救家庭的命运，帕斯卡的妹妹，那位美丽而风流的雅克丽娜，匿名参演了一场黎赛留喜欢看的戏，并且还非常出彩，非常拉风。
黎赛留君心大悦，就来问雅克丽娜芳名。这时，雅克丽娜看火候已到，便去掉马甲，露出真名。红衣主教并不是少林寺方丈，他被感动了，觉得有这么好的女儿的 人，必然值得原谅。于是帕斯卡一家躲过了一劫，只是得迁到法国西北部的鲁昂(Rouen)----一个充满艺术品的古城，约200年后还诞生了福楼拜这样 的文学巨匠。这件事，让我们知道两个道理，一是东西方的老虎屁股都是摸不得的，二是东西方的美人计都是好使的。
搬到鲁昂之后，帕斯卡和笛卡尔的争吵暂时平息了下来。但这时，帕斯卡的健康状况其实已经很糟了。他的消化系统和神经系统都非常脆弱，且轮流在白天和晚上值 班式的折磨他。然而他还是沉迷于科学之中。人有时候就是这样奇怪的，严重的疾病和身体的痛苦，并没有让帕斯卡放弃科学。可是他人的言论就轻易的做到了这 点。
在18岁的时候，帕斯卡做出了历史上第一台【计算器】，可以用来帮他父亲处理一些税务上的运算，主要是加法。直到如今还存有他的杰作，不过陈列于法国博物 馆中。而这一贡献，致使现今仍有一种计算机语言，叫帕斯卡语言。这是后辈们对先驱的致敬，而帕斯卡也完全值得这样的夸奖。
只是，在1646年的时候，帕斯卡一生一个真正的转折点出现了。
他的一家开始信仰詹森教派(Jansenistic)，这是由一个叫科尼利恩斯.詹森(Cornelius Jansen)的荷兰人所创建的教派。这个教派的信条既不是罗马天主教，也不是新教。然而它最大的特点，就是苦修和偏激。一方面，它的教义提倡每个信徒对 自己身体的苦修，要以一种难以忍受的虐待进行；另一方面，它鼓吹对那些反对其教义的人，进行强烈的敌对和仇视。
很难想象，到底因为什么样的导火索，导致帕斯卡一家会去信仰这种可怕的教派。唯一的可能是，帕斯卡本身已经把疾病对他的折磨看成是一种苦修，因而觉得詹森 的教义特别的投缘。这样一来，帕斯卡渐渐的，渐渐的要从精神上死亡了----虽然宗教也许多少促进了他今后在文学和哲学上的沉思----然而这种近乎病态 的信仰，确实慢慢导致了帕斯卡科学上的死亡。而他这时才23岁。
在鲁昂带了6年之后，老帕斯卡带着全家返回到了巴黎。就在回到巴黎的第二年，帕斯卡就又做出了轰动欧洲学界的成果。他对托里拆利 （Torricelli,1608-1647）的大气压力理论进行了研究，并做了不少实验。他得到了一个现在小学生都知道的自然知识，即：“随着海拔高度 的上升，大气压力总是下降的”，并由此改良了托里拆利的水银气压计。
这些都是对物理学的伟大贡献，然而却导致了笛卡尔的再次质疑。
原来笛卡尔早在之前，就有过这个“气压计实验”的想法，并在与梅森神父的通信中讨论过此事。于是，本来就和帕斯卡不合的笛卡尔开始怀疑年轻人剽窃了他的思 想。这换作是今天，帕斯卡铁定要学术声誉扫地。但还好笛卡尔也没有什么事实证据，加上帕斯卡之前的天才显示，他这样的人，是不会也不需要去模仿他人的。
但吵归吵，绅士的风度还是不能丢。于是，笛卡尔在1648年----就是他去北欧的前一年----还特地从荷兰赶到巴黎，来拜访帕斯卡一家，希望能缓和一 下气氛。毕竟大家同在梅森小组讨论了那么多年，好歹既是同事也是同行，再说两个天才，搞得那么僵毕竟不好。可是，笛卡尔又没想到，这时候帕斯卡一家已经在 詹森教派中越陷越深了。
如果大家还记得，前面说到，笛卡尔是信耶稣学会的----一个温和的教派。恰好正是詹森教派最为看不顺眼的那种死对头。要说笛卡尔胆子也真是大，毕竟抗过枪，明知詹森教派对耶稣学会的仇恨甚至多于魔鬼仇恨圣水，他也还是敢闯这个虎穴龙潭。
总之，这次拜访非常失败，以激烈的争吵结束。但笛卡尔毕竟是个老绅士，何况他对帕斯卡的天才还是很尊重的。于是，他在离开的时候，依然给了帕斯卡健康方面 的忠告：比如像他那样，每天上午在床上躺到11点再起来----话说这也是我们现代人普遍的愿望，还有就是要有规律有节制的饮食，甚至还开了个有些讽刺性 但还算是友善的玩笑，叫帕斯卡除了牛肉【汁】什么都不要吃。
帕斯卡到底是年轻人，火气大，他全盘拒绝了这个“敌人”的建议。E.T.贝尔有句话说得很有意思：在帕斯卡完全缺乏的其他东西中，有一样是幽默。而在陷入詹森教派之后，他正逐渐失去的，远比这多得多。
1648年，帕斯卡一家又搬回了克莱蒙，这次住了两年。这其间，雅克丽娜计划进入波罗亚尔的修道院，那里是詹森教派的中心。她开始说服她的哥哥，帕斯卡，与她一起与尘世决绝，去修道院里把自己的所有通过苦修来奉献给上帝。
然而此时的帕斯卡，似乎正在身体方面自暴自弃。他酗酒，想用酒精带来好的睡眠，然而同时在女色中流连忘返，这对他的脾胃又伤害巨大。据坊间传言，就在这两年间，他和他妹妹有某种说不清的关系----以致于他后来迫于压力，把妹妹送进了波罗亚尔，自己却依然呆在外面。
这对科学来说，还是幸运的。帕斯卡在创造力和智力上还没有死亡，他还可以做出一流的工作。1650年，帕斯卡一家再度迁回巴黎，第二年老帕斯卡就去世了。 帕斯卡现在就成了一家之主。他做的第一件事，就是去跟笛卡尔竞争。在听说了解析几何被请到北欧的皇宫，成为了那位年轻女王的教师时，帕斯卡顿时觉得不公。
他和笛卡尔一方面互相看不起，另一方面又互相较劲。帕斯卡写了封非常谦卑的信给克里斯蒂娜女王，并送上了自己制作的计算器。我们不知道女王的反应如何，反正最后的结果是，帕斯卡并没有去北欧顶替可怜的笛卡尔。
1654年，是帕斯卡一生中科学事业的转折点。在这一年，他和费马的通信，共同创造了概率论的基础，但同时，到该年年底时，帕斯卡正式进入了他妹妹所在的 修道院。从此，我们的天才帕斯卡，所有的精力都用到了哲学和神学上。我无意诋毁他在这两方面的伟大，然而他那惊人的智力，从此就告别了科学----除了 1659年的摆线研究的短暂闪光----帕斯卡对数学的贡献，已经到此为止了。
我们无法责备他。他做到了他能做的一切，没人可以要求更多。他的《思想录》(Pensees)和《致外省人书》(Lettres Provinciales)不仅在哲学和神学方面有极大的指导力，同时也是文学和辩论技巧方面的杰作典范。而我们只能做这样并没有太大意义的假设：如果帕 斯卡这样的头脑，能够保持对科学的一贯兴趣，他会做出什么样的结果？
我们先来看看他最后的闪光，关于摆线(Cycloid)的优美发现。然后再回到我们原本的主角---费马同学的身上，一起简述一下他们对概率论的贡献。荷 马的史诗《伊利亚特》(The Iliad)中写到古希腊美女海伦是特洛伊战争的导火索，而单单是她的美丽就使“以前艘战船下水”----这就是我们所说的“倾国倾城”-----而摆 线，就被人们称为【几何学中的海伦】。
其定义由现实的事件出发的：即一个圆沿一直线缓慢地滚动，则圆上一固定点所经过的轨迹称为摆线。这条曲线有很多极其优美的甚至令人吃惊的性质。首先，它的 长度，以及与水平线截成的面积，居然都与π没有关系。比如，它的长度，是旋转圆直径的4倍，面积则是旋转圆面积的3倍。
同时，如果你把这摆线倒过来放置----它会像一只碗----然后在上面的任何一颗小珠子，无论其具体位置在哪，都会在【相同的时间】里滑到最底部。这就是摆线的【等时性】。而这点，使得它被广泛应用在今天的钟表制作上。
另外，在伯努力家族的章节中，我们还会看到，摆线还具有【最速降线】(brachistochrone)的性质，简言之就是，一个质点，从一个给定点下落 到另一个给定点，如果后面这个点不在前点的垂直下方----如果在垂直下方，那就自由下落好了-----那么，这个质点沿着什么样的曲线下降，会使得所需 时间最短呢？（不计摩擦力）
首先令人非常惊讶的是，答案不是直线。而根据古典几何，两点之间直线虽然只有一条，但曲线却有无数条。伽利略曾以为这曲线会是圆，然而他错了，答案正是摆线。这个对“最速降线”的研究，后来还导致了【变分学】的创立。不过此乃后话，按下不表。
且说帕斯卡自进入修道院以后，就认为科学研究都是不好的事，不纯洁的事。因为让人无法集中精力苦修和祷告，因而对精神和灵魂是有害的。但是当数学的美真正绽放它的光辉时，帕斯卡就言了。他发现，每当他想着摆线，一些脑人的病痛就暂停了。
于是，帕斯卡觉得这一定是神谕，是上帝在告诉他，思考科学也许不是对圣灵的亵渎。这让他更加投入的研究摆线，达到了废寝忘食的地步。不久，他就以阿莫斯.德通威尔(Amos Dettonville)的笔名发表了自己的成果。
从那之后，帕斯卡就完完全全在数学上死亡了。他的身体也日渐消瘦，健康状况也达到了一生的最低点。他几乎已经整晚不能睡觉，每天剧烈的头痛就像五万只蚊子 在飞来飞去，而且还伴随有牙痛、胃痛。----可惜他也没有蓝天六必治牙膏。于是，1662年8月19日，帕斯卡终于在巨大的痛苦中，离开了人世，去投奔 他信仰的上帝。
他是值得任何人崇拜和尊敬的一个天才，他事实上也做到了天才该做的一切。
经过漫长的插叙之后，下面我们正式回到费马，来看看他和帕斯卡到底如何一起创造了【概率论】，以及这门学科给后世带来的，几乎延展到日常生活的每一个方面的深远影响。
其实早在远古，古希腊人就讨论过偶然性和必然性的问题。而事实上，现今生活中，我们也有着本能一般的能力，来判断某些事情到底发生与否----前提是这些事情存在“可能性”。
而这其实贯穿了我们日常活动中的很大一部分，比如，你在过马路时，看到远方有车辆驶来。那么，你便会根据车距、车速、马路的宽度、自己的行走速度等等，对安全与否有个大致的判断-----虽然这种直觉并不见的总是对的。
因此，人们对于【可能性事件】的研究，一直模糊不清，而有限的讨论也仅仅局限于哲学的范畴。直到1654年，当时的巴黎上流社会正盛行以娱乐为目的赌博游戏----其中有些成为了现在【博弈论】的一部分。
其中一名名叫安托瓦尼.贡博（Antoinie Gombaud）的梅雷骑士(Chevalier de Mere)经人介绍认识了帕斯卡，然而他作为一个职业赌徒，正沉迷于一种点数游戏。顺便说一句，此人是路易十四宫廷的红人，也正因为此，帕斯卡对他的提问 也格外重视。他所喜欢的赌博游戏的规则有些类似于如今的24点，即哪个赌徒先得到一定的点数，则获胜得到全部赌金。
然而，贡博在一次赌博中，因为要务必须马上离开，那么赌局就被提前中断了。在这种情况下，如果把钱全部给那个点数最多的赌徒，大家都不满意。因为点数多并 不意味着这个人更容易赢。于是，贡博就把“如何更加公平合理的分配赌金”问题，留个了帕斯卡。因为他听说帕斯卡是个数学家，在那种年代，数学家在普通公众 心中，大概类似于职业解题家的杂耍者。
帕斯卡在与费马的通信中谈到了这个问题，他俩都独立而迅速的发现，这个问题本身的解答并不太难。通过计算游戏所有的可能，并对每一种可能的结果推导出它出现的几率，然后根据这个几率来分配赌金，就可以完美的解决贡博骑士的难题。
然而，帕斯卡与费马的互相交流，激起两人对问题进一步的挖掘。天才们很快意识到，对更复杂和更微妙的类似问题的解答，是非常有趣而有意义的。----这也正是数学家的一个特征，他们很难被一个特定的问题所满足，他们所追求的，正是具有【普遍意义】的答案。
很快，帕斯卡和费马就奠定了【组合分析】的基础，以及概率论中最重要的一个基本概念----【数学期望】。所谓组合分析，即找出做一件事情有多少种方法，或者某件事情发生有多少种可能。显然，它与概率论可以说是密不可分的。几乎所有的概率计算都要牵涉到组合数学。
帕斯卡在这样的计算中，大量运用了一个算术三角形----亦即我们所称的【杨辉三角形】。即
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
这个三角形从头两行以后的各行，除了首尾的两个1，其他的数字都是由上一行左右相邻的两个数相加而得来。同时，它第n行中的数也就是(1+x)的n次方 按二项式定理展开的系数。此三角形的应用非常广泛，其性质也非常奇妙。不少古人很早就知道了它，但独创性的把其运用到概率论中，帕斯卡是第一人，因而之后 西方也以帕斯卡三角形命名它。----除开意大利人称其为【塔塔利亚三角形】（Triangolo di Tartaglia）。
费马的工作则在于，他创造性的把赌徒获胜的概率(费马本人并未使用概率一词)和赌金相乘，得到的数字作为衡量一名赌徒的期望获得值----而这正是了现今我们所用的【数学期望】(mathematical expectation)的概念雏形。
帕斯卡把这个概念曾记录在他的思想录里，并用来论证宗教信仰的价值：在他看来，哪怕通过虔诚的苦修而获得永恒幸福的概率非常小，但是永恒幸福本身的价值是无限大，所以宗教是值得人们信仰的----这理论本身不是严密的，然而帕斯卡心甘情愿的相信它。
和所有新生的学科一样，在得到高速发展的同时，概率论也得到了部分的质疑。1657年，惠更斯（Christiaan Huygens）发表了《论赌博中的计算》，使得概率论系统进一步完善和被广大数学界所知。
然而，概率本身也带来了很多奇妙的----甚至于直觉相悖的结论----这就导致了当时的宗教法庭对这一理论持怀疑态度。三个实际后，贝特兰罗素的一句调 侃也许更为恰当描述了这种科学与直觉之间的矛盾：“我们怎么可以谈论【机会】的【规律】呢？机会不正是规律的对立面吗？”
最著名的例子之一就是生日悖论（Birtheday Paradox）。它并非严格意义上的逻辑悖论，其本身并不能导致什么矛盾的结论----然而，它的结论，基于数学的理性的计算，与我们的感性认识，有着如此大的差距，以致于好多人一开始都无法相信它的正确性。
其中一种表述是：一个23人的房间中，有2个人同一天生日的可能性超过50％。那么也就是说，当有人跟你打赌一个足球场上（包括裁判）在内，有没有两人同 生日时，你一定要押肯定的那一边，赢面才会比较大。这个问题，凭直觉似乎是不正确的，区区23人的生日，放到一年365天这样的大区间里，撞车的几率应该 是小得可怜的23/365=6.3％。
更惊奇的是，在23人的时候，这个概率还只是略微大于50％，然而当人数增加到57人时，有两人生日相同的可能性已经达到97％，接近于必然了。具体的计 算方法有多种，以经典的组合分析为手段的话，我们往往考虑这类问题的反面----即23人中，没有两人同一天生日的概率。
具体的等式在此不再赘述，有兴趣的人可以作为一道习题研解。不少教科书上都有详细解答。但正确的答案和直觉之间的巨大差距，可以用下面一幅图来更直观的表示。
其中绿色的曲线，即表示在n人中，存在两人相同生日的概率。可见它的增长非常不平缓，随着n的增大----即人数的增加，概率会如直升机般飞速上升，到 了60左右已经就非常接近于1.0；呃；而蓝色的直线（图上稍有弯曲）表示我们直觉上的概率（是n的一次即线性函数），同时，它也表示，在n个人中，有人 【与你同一天生日】的概率。它的上升速度相对就要平缓得多。
那么，为什么我们会有如此错觉的原因也就很明显了。人们在看到类似“有人生日相同”的问题时，总是下意识的替换为“与我生日相同”，那么其实处理的，就已然不是一个问题，故有天壤之别。
而只有概率论，才能解开这种错误的面纱，并予以类似问题真正正确的理论支持。到了现代，这个分支的应用已经遍及我们日常生活的许多方面，生物及物理方面的 测量，银行及保险业的大量数据统计，等等。虽然这门学科的起源来自于一个卑微的问题，但正是这些微不足道的例子，导致了数学上许多学科的诞生，让天才和后 来的继承者们发现了其内部的深奥的，一般性原理。
除了奠定了概率论的基础，费马在解析几何和微积分领域也做出了开创性的伟大工作。然而，他在解析几何中创造的手法，和笛卡尔有本质的不同。这当然关系到两 人的哲学观。笛卡尔是一个实用主义者，他甚至觉得欧几里德几何中，那种依赖于图形的巧思般解法，是对想象力的一种浪费。----没错，笛卡尔是个激进的改 革者，他批判了古希腊的几何。
因此，他把代数用于几何，完全是双方取长补短的一种手段，并且主要目的是用来创造一种具有【一般性】的方法，可以来批量解决作图问题和其他几何问题。其结 果是，这种混合，使得解析几何称为具有广阔开发前景的学科，但同时导致了包括牛顿在内的一些人的批评----虽然有些人也使用这个工具。不过此乃后话，暂 且不表。
而费马这个纯朴的老实人，却不是这样。在他的小册子《平面和立体的轨迹引论》(Ad Lacos Planos et solidos Isagoge)中，有这样的叙述：只要在最后的方程里出现了两个未知量，我们就能得到一个轨迹，并描绘出一条直线或者曲线。这比笛卡尔7年后的成果更加 直白，虽然费马并不使用负坐标。但在后面的例子充分显示费马完全理解坐标轴，他也允许它们做平移或旋转，以此来得到一些更加复杂的曲线方程。
费马在思想上，是古希腊几何的继承者。他借用韦达(Vieta)的代数解决几何方法，对阿波罗尼乌斯的几何，做了一种重新表述。在这一步上，费马的传统也许使他的解析几何不如笛卡尔那样有革命性，但他在之后的争论中再一次的显示了他的宽厚。
当笛卡尔发表了其《几何》之后，关于解析几何发现优先权的争论，就在当时的学界持续了将近十年。显然的，我们的神童帕斯卡等人支持费马，而德萨格等人则支持笛卡尔。笛卡尔这个人吵架是家常便饭，因而打嘴仗是相当了得。
他讽刺的称费马为极大和极小大臣----费马曾发表论文《求极大值和极小值的方法》(Methodus ad Disquirendam Maximam et Minimam)，并说费马欠了他的债。费马虽然有朋友帮他还击，但在1660年的一篇文章中，费马却宣称他是如此的佩服笛卡尔的天才，虽然后者的工作里 有一些错误---费马所指出的并且确实如此，但他这些错误甚至比绝大部分人没有错误的工作，而更有价值。而以现代观点来看，费马在解析几何中的强调轨迹， 可以说是更超前于那个年代的天才火花。
而在几何的研究中，费马很自然的会遇到求切线、求最大值最小值等问题----而这些正是微积分的起源之一。但鉴于篇幅，我们把这些放到牛顿的章节中再详细叙述。
概率论、解析几何和微积分，任一方面的成果都足以让费马留名青史。然而，这些都还不是费马最热爱的，他最热爱----同时也是他最杰出---的领域就是“数学的皇后”，【算术】或者叫【数论】。
金庸先生的《射雕英雄传》中，当时江湖五绝，南帝北丐、东邪西毒、中神通数次华山论剑，争夺的就是一本名唤《九阴真经》的武林秘籍。此书得天下武学之精髓，习练者可立于不败之身。而此秘籍的作者，便是黄裳。
此人虽然自身修为极其了得，然而他却不是科班出身的大侠。原来当年宋徽宗政和年间，命普搜天下道家之书，作为合集雕刻出版。此时黄裳本一文官，被委派此任 务之后，整天担心稍有纰漏即遭杀头之罪，因而一直逐字逐句的研读。进而悟得天下道学，以及武功中的高深道理。成为一个业余出身，专业水准的高手。
皮埃尔.费马(Pierre de Fermat, 1601－1665)就是数学江湖中的黄裳。他是整个数学史上最重要的业余爱好者，没有之一。在还未发生知识大爆炸之前的近代数学中，他至少对其中四个方 面有着伟大的贡献-----要知道，这就意味着他的工作几乎涵盖了当时数学的一切。如果把牛顿算作18世纪的数学家----他一生有三分之一的时间生活在 18世纪，那么，尽管我们前面见证了笛卡尔的伟大，我们还是要把【17世纪最伟大的数学家】这一桂冠，赐予费马。
另一种说法是，作为一个【纯数学家】，费马将至少与牛顿相当。当然这是富有争议的结论，然而可以与牛顿并驾齐驱的引起人们的争执，这在科学史上也只有约莫一打人有这样的资格。
费马的杰出还不尽于此。跟黄裳一样，他也留下了一样东西，一样让整个江湖为之奋斗、为之争论、为之拼搏的东西。这是一个数学命题，通常称为【费马大定理】 或者【费马最后定理】(Fermat’s Last Theorem)。显然，在定理前的那些形容词，就能很好的说明这个命题所带来的一切了。从来没有其他数学命题被称为“大的”，或者是“最后 的”-----人们一定潜意识中认为这是最后一个没有得到证明的命题了。
费马大定理或许不是世界上最难的难题，但绝对是世界上最有意义的难题之一。它具有小学生都能理解的形式与美，却关系到一个极其普遍的性质，同时又具有火星 般的难度。希尔伯特曾说：“这是一只下金蛋的母鸡。”------意即在试图证明费马大定理的过程中，产生出来的那些新思想、新理论、新方法都是极其有意 义的。
这个定理牵涉到的故事，横跨三个多世纪，其中包含了巨额奖金、绝望自杀、与世隔绝、争吵补救等等一切八卦、故事、小说等所需要的一切猛料要素。某种意义上 说，就像《九阴真经》已经脱离黄裳，而作为江湖中的传说而独自存在一样，费马大定理被视为对人类智能的一种挑战，已经脱离费马，独自构成了自己传奇的篇 章。
关于它的整个故事，需要另一本书专门阐述才能淋漓尽致。因此我会在后来叙及费马在数论领域的贡献时，尽量简要的介绍一些，除此之外，我们还是把目光转回到费马，以及他其他同样伟大的工作上。
费马1601年8月出生在法国的一个贵族家庭，靠近图卢兹-----一个非常宁静美丽的城市。他名字中的【de】即表明他是当时的【穿袍贵族】 (l’aristocratie de robe)，而这种头衔大多是靠资产买来的，可以世袭并且不用交税赋，这表明他家境的富裕。
然而，这也注定费马要从事贵族的职业，履行所谓贵族的义务(Noblesse Oblige)。于是，从图卢兹大学毕业后，费马就成为了一个地方行政官员----相当于我们所说的公务员----过着四平八稳的生活，避开所有无意的争执，一直到去世，都是这样。
关于费马学生时代的记录非常少，因此我们并不知道他有没有特殊的才能在学习中表现出来。但根据他之后取得的成就来看，费马应当是十分出众的。他的拉丁文、法文、西班牙文都是大师级的，他对其他欧洲大陆的语言也有着非凡的造诣，这可以从他之后的通信中看出来。
人文方面，他对希腊和拉丁哲学进行了几处重要的修正，他甚至能用好几种语言写出精美的诗。并且，他对文学作品的评析，也显示了他熟练的文字技巧和精湛卓越的鉴赏能力。
如果说笛卡尔一生都在追求安宁，那么费马则是一生都在享受安宁。他连升迁也是慢条斯理，按部就班。他在1631年6月1日结了婚，17年后由接待官升为了 图卢兹地方议会的议员，然后再在此职位上干了17年，直到去世的那一天。他为官非常和善清廉，很受当地群众欢迎，只不过政绩平平。然而，我们有充分的理由 相信，费马一定是把他的才能都用到另一个领域了，议员对他来说，无非只是一个头衔而已。他也并不排斥自己的工作，在他看来，自己只是一个沉迷在自己业余爱 好中的普通官员。
我们要感谢上帝赐予的幸运，让笛卡尔在战斗中活了下来；同时也要感谢他的公正，让费马有机会把他的天才留给数学。费马作为一个平庸的行政官员，一直工作到1665年1月12日。当时，他还在处理卡特雷城的一件案子。两天之后，他就在这座小城里平静的去世了。
虽然这个诚实、和气、谨慎、正直的人一生没有什么波澜，但他却有着数学史上最美好的故事之一。
在我准备正式介绍费马的工作时，我发现我还是漏了一些他的闲闻轶事----幸而还不算太多。其中比较搞笑的是，1652年费马其实“死”过一次。这并不是什么由死复生的神话，而是一个医学奇迹加上一个糊涂的朋友所主演的一场喜剧。
彼时正是黑死病肆虐的时期，没错，就是电影《夜访吸血鬼》中那场令人毛骨悚然的瘟疫。无数人在非常痛苦的情形下死去，浑身布满黑斑----这就是俗称的“鼠疫”。费马很不幸也染上了这种致命的疾病，并且奄奄一息了。
于是他的一位朋友伯纳德.梅当（Bernard Medon）对外宣布费马已经死了。但费马在当初的医疗条件下，居然又神奇的康复了过来。于是他这位性急的朋友只好重新发过一份公告来纠正之前的失误：” 很抱歉我前段时间曾通知您费马逝世。他仍然活着，我们不再担心他的健康。瘟疫已经不在我们中肆虐了。”
这一定是神之干预。大概上帝也还想看到费马的数学，所以他留下了我们的天才。从那之后，费马更是低调。其实他之所以能做出那么多工作，与他的工作也还是有 关系的。当时，国家要求所有地方的议员避开一切党团的混战和不必要的应酬，以避免在履行职责时受贿而堕落。话说这正类似于我们现在的【反腐倡廉】，费马就 这样得到了大把的空闲时间。
那时，整个法国做科学研究尤其是纯理论研究的一项特点是尽量保密、拒绝交流。这是与现今完全相反的状况。但他们是有理由的。首先17世纪的数学在社会上还 远远没有如今的地位，绝大部分数学家----哪怕是职业数学家----都要为自己的经费，乃至生活费而奔忙。话说这跟国内现在的状况也比较相象。在这种大 背景下，成果成了数学家自己用来交换生活质量的一种货物，成了不能轻易示人的独门手艺。
另一方面，16世纪之前，绝大数学家前身都是Cossists。这是一种职业的名称，受雇于商人和实业家，用来解决一些复杂的会计问题，相当于现在的精算 师。因此，数学和某些解题的方法就成了民间秘方一样，不仅仅是他们谋生的手段，也给他们带来独一无二的声誉。一般情况下，保密自己的成果已经是当时行业里 不成文的规矩，一旦遭到破坏，往往带来剧烈的争吵甚至敌对。
一个显著的例子就是关于卡尔达诺（Girolamo Cardano）的禁书《大衍术》(Ars Magna)。这本书主要描述了一些虚妄飘渺的炼金术和不着边际的仪式，但也第一次引入了虚数的概念和讨论了一些博弈的问题。在此之外，他还披露了一个可 以迅速求解3次方程的方法-----而这是他十年前从一个朋友塔尔塔利亚(Niccolo Tartaglia)那里获得的。结果，后者勃然大怒，断绝了与卡尔达诺的所有关系，并掀起了非常激烈的争吵。
总之，这样的例子只是让当时的数学家们更加的守口如瓶。这时，还好有一个人改变了这一切。这个人在笛卡尔那章有过短暂的出场---所以可见每个龙套都不可以忽视，都有自己的贡献与故事----这个小角色就是掌握笛卡尔在荷兰行踪的神父，梅森。
梅森作为一个数学爱好者，对数论有过一丁点儿贡献；但作为一个规则破坏者，他对数学却有着很大的贡献。而且后来的种种情形显示，梅森不遵守这种保密性，确实没有任何私心。他数学上的才能也许很普通，然而其人格高贵并不逊于任何的大数学家。
由于梅森的神父身份，所以他和很多当时的大数学家都有频繁的书信联系----那个时候宗教就是高于一切的力量。他自己同时也研究数论，并向其他的修士和修 女讲课。但当梅森在巴黎主持一个米尼姆修道会时，他看到那些与会的数学家们对自己的成果，总是吞吞吐吐，遮遮掩掩，仿佛一个青涩的姑娘。他感到很悲哀，并 下定决心要打破这种阻碍科学的坚冰。
他开始鼓励数学家们交流自己的思想，促进互相的工作。同时，他定期安排会议----这个小组后来成了法兰西学院的核心和前身-----而当有人因故缺席 时，他就会把此人的信件、或者是文章，公诸于众，让他的成果得以被小组所熟知，这样其他人就可以从这里继续前进，去研究更深一步的问题。
虽然这种行为在我们现在看来非常理性的，然而在当时，尤其是一个穿修道袍的人神父，这样做并不符合其职业道德。后来，笛卡尔便因此和梅森闹翻了。但在笛卡尔遭到教廷的质疑时，梅森依然为他而辩护。
闲话休表，言归正传。当时费马也与梅森神父保持着频繁的书信联系，但费马的低调在整个数学史上都是最显著的。他无论如何也不愿意公开出版自己的任何成果和 发现，这可能是一种贵族的固执。同时也因为，公开发表和被人们承认对费马来说毫无意义，他已经是一个成功的社会人士。
数学对他来说，尤其那些没有被别人发现的美妙定理对他来说，是一生中重要的愉悦的来源，他可以在自己的时间里做做数学就已经很满足了。
虽然这种对数学的单纯的追求和热爱，如今依然值得我们提倡。但费马确实没有意识到，如果有用的数学研究和成果没有被及时发表，那么损失的，将不仅仅是个人的荣誉，而会拖慢整个时代数学前进的步伐。
但在梅森神父的组织下，费马开始与其他人数学家通信了。这导致了两个后果。一是好几个人和他闹僵了----并不是出于他的态度，费马一直是一个谦谦有礼、 平和冷静的绅士----而是费马那种类似于【挑逗】的意味。而这也是他最大的一个特点。他总是喜欢叙述他最新的定理，但是不给出证明。我只能说，这也许就 是费马给他平淡的生活带来的【天才恶作剧】吧。
他这种把解答藏起来的习惯，惹恼了不少同行，也引诱这无数的后来人，就是单凭着好奇心，也要去寻找他的证明。这其中就包括费马大定理。而被挑逗到发飙的大 人物中，就有我们的军人，笛卡尔。事实上，笛卡尔和费马不止争论过一次，而是好几次。但后来的事实证明，费马几乎每次都是对的。我们的律师用沉着冷静打败 了急躁易怒的将军。
笛卡尔有一次气急败坏的说：“费马是个加斯科尼人，可我不是。”言下之意就是费马无非是个“吹牛者”。虽然如此，费马这种习惯对自己而言，还是有一定好处 的。这样他就无需去再花上大量时间，来完善自己的解法，反而能更迅速的投入到下一个问题的思考。另一方面，由于证明一旦公布，任何人都可以对其进行仔细的 研究和探讨，那么将其隐匿就意味着，无需承受那些出于嫉妒而挑刺的折磨。
虽然如此，费马与其他人的通信依然带来了好的成果-----他与帕斯卡的通信，让两人共同创立了【概率论】这门学科的理论基础。而且，就费马去世后出版的记录来看，他完全有能力单独完成这一工作。
然而，既然说到了帕斯卡，我们有必要略窥一下17世纪这个早逝的天才。他的一生，论传奇性，绝对不逊于笛卡尔与费马。
他在数学上的贡献，不如笛卡尔和费马这两个同时代人。然而这是由于，他的惊人天赋并没有完全用在数学领域上。我们不能说这是一种浪费，他也确实在实验科 学、文学、神学宗教等方面都做出了第一流的工作。然而若帕斯卡能够保持他对数学的激情，和自己的身体健康久一些的话，我们的数学也许要前进好几年。
而他的生活，则绝对是好莱坞大片。里面有天才、美女、酗酒、争执（又是与笛卡尔，看来丫和同行关系不好）、宗教狂热、英年早逝甚至有【兄妹乱/伦】。直至如今，帕斯卡也依旧是某些弗洛伊德主义者的研究对象。
帕斯卡(Blaise Pascal)，1623年6月19日出生于法国中南部的克莱蒙费朗(Clermont-Ferrand)。这个小城是中南部奥佛涅(Auvergne)的省府，很多建筑由黑褐色Volvic火山岩建成，别有一番风味。
如果说笛卡尔和费马这两个法国同胞，人们对他们早期知道的并不多，而认为他们青少年时并没有展现自己异于常人的才能，那么帕斯卡就是数学史上确切记载的，第一个早慧型天才----就是我们现在所说的【神童】。
但同时，帕斯卡也是【数学天才总是容易早逝】这个说法的由来。他一共只活了39年，不过后来大量的事实证明，这个论断绝对是错误的。
帕斯卡童年的大部分轶事能流传至今，得益于他那两个宠爱他的姐妹，吉尔伯特(Gilberter)和雅克丽娜(Jacqueline)的大肆宣扬---- 其中后面那个后来还与他有扯不清的暧昧关系。当然，帕斯卡完全值得这样的宣扬，他的才智----如果我们客观的评价----超过笛卡尔，甚至也许超过费 马，然而他只在一生中的前25年对科学保持了兴趣---虽然概率论的创立发生在他31岁，然而那时他已经早就不把科学放在第一位了----而且还不是全力 以赴。
帕斯卡的父亲是个艾帝纳(Etienne Pascal)是克莱蒙主管税收案件的最高法院院长，也是当时法国小有名气的数学家和拉丁语学者。帕斯卡的母亲安托瓦妮特(Antoinette Begone)在帕斯卡不到4岁就因病去世了。1631年，艾帝纳全家迁徙到巴黎，并开始与法国其他科学家通信，其中包括大帕斯卡27岁的笛卡尔，射影几 何的主要创立者之一德萨格(Girard Desargues)等等，后来这两位与帕斯卡也都有交流。
一开始的时候，帕斯卡老爸并不希望他过早的接触数学。大概是觉得未成年的孩子，如果一旦痴迷在数学中，则很容易用脑过多而伤害到他们的身体----可悲的 是，这个结论对帕斯卡来说，今后竟如魔咒般成为事实-----不过如同我前面所说，帕斯卡这种人，是被数学所召唤，注定要研究数学，并成为一个伟大的数学 家的。
在很轻松的就掌握了古典文学之后，大约在帕斯卡12岁的时候，他的好奇心终于导致他做出了逆反的举动。他缠着他老爸，无论如何也要知道，到底什么是几何？ 那时笛卡尔的成果还没有广泛传播，于是几何也就几乎等于欧几里德的古典几何。他爸抗不住孩子的热忱，非常清晰的给帕斯卡上了一课。
然后，帕斯卡就完全着迷了。并且，他的传说也就开始了。他仅仅听了老爸的讲述后，就完全依靠自己的创造力，没有任何书本的提示，就证明了【三角形内角和等于两个直角】。任何一个学过数学的人，都知道这样的表现意味着什么，何况是艾帝纳那样有数学涵养的专家。
他哭了，并且立马意识到自己的儿子是个天生的数学家。接下来，《几何原本》成了帕斯卡的第二本圣经。他时时刻刻都捧着它，以非常快的速度就完全掌握了里面 所有的内容。到14岁的时候，他已经被允许参加梅森神父----如果你们还记得他，就是那个科学隐私的破坏者----的讨论小组。这是法兰西科学院的开 端，所以相当于，帕斯卡曾是科学院所拥有的最年轻的会员。
想象一下如果是现代，14岁左右的孩子在干什么？打闹，玩耍，看电视卡通，听流行音乐。帕斯卡呢？他玩几何，是的，几何对他来说，从来就不是任务或者家庭作业，而是一种娱乐。
在精通了古典几何之后，帕斯卡开始研究他最喜欢的【圆锥曲线】。大约2年后，他就做出了伟大的成果。这是整个几何领域最美妙的一个定理，并且任何人都可以轻松理解，即现在被命名为的“帕斯卡定理”。
我们可以简要的叙述一下这个定理。在这之前，我们先看看什么是圆锥曲线。这样想象，一个圆锥通过其顶点向两方无限延伸，然后，用一个平面去截这个圆锥，那 么平面在锥面上截出的曲线，就叫【圆锥曲线】。它包含五种可能：1.圆 2.椭圆 3.双曲线 4.抛物线 5.两条相交的直线。
然后，我们的帕斯卡定理是说：任意一条圆锥曲线，比方说，一个圆，在它的边上，任意标出6点ABCDEF。然后按次序把它们连起来，那么我们就得到了一个 内接于圆的六边形。然后选择任意【三对】相对的边，比方说，AB与DE,BC和EF,CD和FA是相对的边。然后我们延长AB与DE,使它们相交于一点， 比方说A’；同样的，我们使BC与EF相交于B’；CD与FA相交于C’。
那么，帕斯卡的结论是，A’,B’,C’三点在一条直线上，即这三点共线。了解上述解释之后，现在我们可以用一句话来概括这个定理了：“圆锥曲线内接六边形的三双对边(所在直线)的交点共线。”
先不说这个定理如今的难度，但是它那奇妙的性质，首先它要求很少的条件。圆锥曲线，和曲线上的点，都是可以任意取的。然后共线也是几何中最美妙的性质之 一。同时，定理还显示，在圆锥投影下，这个性质是稳定的即不变的----而古典几何里图形的【度量性质】并没有这样的稳定性。
而这一切，都是由一个16岁的少年发现的。更令人惊奇的是，帕斯卡在证明这个定理的过程中，用到了一种全新的几何。（当然德萨格也用过，但对那个时代来说，这依然是全新的。）
他先证明了这个定理对一类圆锥曲线成立，比方说圆。然后他通过【投影】证明它对任意其他圆锥曲线也成立。那么你会问，这种几何新在哪里？请注意，任何角 度，或者线段的长度，在这个定理里都是无关紧要的。因而这不是【度量的几何】，而是一种【画法几何】，或者叫做【射影几何】。在帕斯卡的几何里，没有“数 量”的概念----这就是它本质上与希腊几何不同的地方。
这还没有完。帕斯卡在证明这个定理之后，难以置信的迅速前进，写出了他的第一本著作《关于圆锥曲线的短论》，里面包含了400多个关于圆锥曲线的命题。其 中包括我们在阿基米德那章提到过的阿波罗尼乌斯的绝大部分工作，也有德萨格的一些结论。在这个16岁孩子的书里，这些都被作为一个完整系统的一部分，以推 论的形式而演绎得到。
这本书现在失传了，但它在梅森的小组里，迅速引起了轩然大波。笛卡尔又要登场闹事了。
很显然，帕斯卡《短论》中的几何，受到了德萨格工作的影响。因而帕斯卡对这位导师亦非常赞赏和尊敬。这类全新的射影几何，在处理某些透视问题时，是非常有 力的。进而对建筑、工程方面，也有极大的作用。-----笛卡尔这样的人，不会不知道它的价值。当老帕斯卡把儿子的著作拿给笛卡尔看时，他很快就惊呆了。
一方面，他给予了《短论》极高的评价，但同时，他坚决不信----直到最后也没有信，就是军人的固执-----这是一个16岁的孩子的成果。
帕斯卡对这种质疑感到非常恼怒。他反唇相讥笛卡尔的解析几何，也并没有什么价值。----显然这个结论近于荒谬，然而考虑到一个天才不被承认的愤怒，这个判断也不算很过分。事情本来还要闹下去，这个时候，老帕斯卡惹了麻烦。
也许帕斯卡老爸就是不知道“识时务者为俊杰”这样的古话，丫笔直的脊梁得到了赞誉，然而却要全家逃离巴黎。你说到底这到底是悲剧还是值得宣扬？事件的起 因，乃是在一件强行征税的案子上，老帕斯卡要维护普通市民，而和红衣主教黎赛留----没错，这家伙前面也出场了，就是支持笛卡尔出版其著作的那位宗教老 大----闹翻了。
要说老帕斯卡也是真有种，当时可是宗教统治一切的年代。而黎赛留正是整个法国教区的头头。结果红衣主教一动怒，帕斯卡一家只好跑路。但所谓“车到山前必有路”，于是有女儿---还是美女女儿----的老帕斯卡便“柳暗花明又一村”了。
据坊间传言，为了挽救家庭的命运，帕斯卡的妹妹，那位美丽而风流的雅克丽娜，匿名参演了一场黎赛留喜欢看的戏，并且还非常出彩，非常拉风。
黎赛留君心大悦，就来问雅克丽娜芳名。这时，雅克丽娜看火候已到，便去掉马甲，露出真名。红衣主教并不是少林寺方丈，他被感动了，觉得有这么好的女儿的 人，必然值得原谅。于是帕斯卡一家躲过了一劫，只是得迁到法国西北部的鲁昂(Rouen)----一个充满艺术品的古城，约200年后还诞生了福楼拜这样 的文学巨匠。这件事，让我们知道两个道理，一是东西方的老虎屁股都是摸不得的，二是东西方的美人计都是好使的。
搬到鲁昂之后，帕斯卡和笛卡尔的争吵暂时平息了下来。但这时，帕斯卡的健康状况其实已经很糟了。他的消化系统和神经系统都非常脆弱，且轮流在白天和晚上值 班式的折磨他。然而他还是沉迷于科学之中。人有时候就是这样奇怪的，严重的疾病和身体的痛苦，并没有让帕斯卡放弃科学。可是他人的言论就轻易的做到了这 点。
在18岁的时候，帕斯卡做出了历史上第一台【计算器】，可以用来帮他父亲处理一些税务上的运算，主要是加法。直到如今还存有他的杰作，不过陈列于法国博物 馆中。而这一贡献，致使现今仍有一种计算机语言，叫帕斯卡语言。这是后辈们对先驱的致敬，而帕斯卡也完全值得这样的夸奖。
只是，在1646年的时候，帕斯卡一生一个真正的转折点出现了。
他的一家开始信仰詹森教派(Jansenistic)，这是由一个叫科尼利恩斯.詹森(Cornelius Jansen)的荷兰人所创建的教派。这个教派的信条既不是罗马天主教，也不是新教。然而它最大的特点，就是苦修和偏激。一方面，它的教义提倡每个信徒对 自己身体的苦修，要以一种难以忍受的虐待进行；另一方面，它鼓吹对那些反对其教义的人，进行强烈的敌对和仇视。
很难想象，到底因为什么样的导火索，导致帕斯卡一家会去信仰这种可怕的教派。唯一的可能是，帕斯卡本身已经把疾病对他的折磨看成是一种苦修，因而觉得詹森 的教义特别的投缘。这样一来，帕斯卡渐渐的，渐渐的要从精神上死亡了----虽然宗教也许多少促进了他今后在文学和哲学上的沉思----然而这种近乎病态 的信仰，确实慢慢导致了帕斯卡科学上的死亡。而他这时才23岁。
在鲁昂带了6年之后，老帕斯卡带着全家返回到了巴黎。就在回到巴黎的第二年，帕斯卡就又做出了轰动欧洲学界的成果。他对托里拆利 （Torricelli,1608-1647）的大气压力理论进行了研究，并做了不少实验。他得到了一个现在小学生都知道的自然知识，即：“随着海拔高度 的上升，大气压力总是下降的”，并由此改良了托里拆利的水银气压计。
这些都是对物理学的伟大贡献，然而却导致了笛卡尔的再次质疑。
原来笛卡尔早在之前，就有过这个“气压计实验”的想法，并在与梅森神父的通信中讨论过此事。于是，本来就和帕斯卡不合的笛卡尔开始怀疑年轻人剽窃了他的思 想。这换作是今天，帕斯卡铁定要学术声誉扫地。但还好笛卡尔也没有什么事实证据，加上帕斯卡之前的天才显示，他这样的人，是不会也不需要去模仿他人的。
但吵归吵，绅士的风度还是不能丢。于是，笛卡尔在1648年----就是他去北欧的前一年----还特地从荷兰赶到巴黎，来拜访帕斯卡一家，希望能缓和一 下气氛。毕竟大家同在梅森小组讨论了那么多年，好歹既是同事也是同行，再说两个天才，搞得那么僵毕竟不好。可是，笛卡尔又没想到，这时候帕斯卡一家已经在 詹森教派中越陷越深了。
如果大家还记得，前面说到，笛卡尔是信耶稣学会的----一个温和的教派。恰好正是詹森教派最为看不顺眼的那种死对头。要说笛卡尔胆子也真是大，毕竟抗过枪，明知詹森教派对耶稣学会的仇恨甚至多于魔鬼仇恨圣水，他也还是敢闯这个虎穴龙潭。
总之，这次拜访非常失败，以激烈的争吵结束。但笛卡尔毕竟是个老绅士，何况他对帕斯卡的天才还是很尊重的。于是，他在离开的时候，依然给了帕斯卡健康方面 的忠告：比如像他那样，每天上午在床上躺到11点再起来----话说这也是我们现代人普遍的愿望，还有就是要有规律有节制的饮食，甚至还开了个有些讽刺性 但还算是友善的玩笑，叫帕斯卡除了牛肉【汁】什么都不要吃。
帕斯卡到底是年轻人，火气大，他全盘拒绝了这个“敌人”的建议。E.T.贝尔有句话说得很有意思：在帕斯卡完全缺乏的其他东西中，有一样是幽默。而在陷入詹森教派之后，他正逐渐失去的，远比这多得多。
1648年，帕斯卡一家又搬回了克莱蒙，这次住了两年。这其间，雅克丽娜计划进入波罗亚尔的修道院，那里是詹森教派的中心。她开始说服她的哥哥，帕斯卡，与她一起与尘世决绝，去修道院里把自己的所有通过苦修来奉献给上帝。
然而此时的帕斯卡，似乎正在身体方面自暴自弃。他酗酒，想用酒精带来好的睡眠，然而同时在女色中流连忘返，这对他的脾胃又伤害巨大。据坊间传言，就在这两年间，他和他妹妹有某种说不清的关系----以致于他后来迫于压力，把妹妹送进了波罗亚尔，自己却依然呆在外面。
这对科学来说，还是幸运的。帕斯卡在创造力和智力上还没有死亡，他还可以做出一流的工作。1650年，帕斯卡一家再度迁回巴黎，第二年老帕斯卡就去世了。 帕斯卡现在就成了一家之主。他做的第一件事，就是去跟笛卡尔竞争。在听说了解析几何被请到北欧的皇宫，成为了那位年轻女王的教师时，帕斯卡顿时觉得不公。
他和笛卡尔一方面互相看不起，另一方面又互相较劲。帕斯卡写了封非常谦卑的信给克里斯蒂娜女王，并送上了自己制作的计算器。我们不知道女王的反应如何，反正最后的结果是，帕斯卡并没有去北欧顶替可怜的笛卡尔。
1654年，是帕斯卡一生中科学事业的转折点。在这一年，他和费马的通信，共同创造了概率论的基础，但同时，到该年年底时，帕斯卡正式进入了他妹妹所在的 修道院。从此，我们的天才帕斯卡，所有的精力都用到了哲学和神学上。我无意诋毁他在这两方面的伟大，然而他那惊人的智力，从此就告别了科学----除了 1659年的摆线研究的短暂闪光----帕斯卡对数学的贡献，已经到此为止了。
我们无法责备他。他做到了他能做的一切，没人可以要求更多。他的《思想录》(Pensees)和《致外省人书》(Lettres Provinciales)不仅在哲学和神学方面有极大的指导力，同时也是文学和辩论技巧方面的杰作典范。而我们只能做这样并没有太大意义的假设：如果帕 斯卡这样的头脑，能够保持对科学的一贯兴趣，他会做出什么样的结果？
我们先来看看他最后的闪光，关于摆线(Cycloid)的优美发现。然后再回到我们原本的主角---费马同学的身上，一起简述一下他们对概率论的贡献。荷 马的史诗《伊利亚特》(The Iliad)中写到古希腊美女海伦是特洛伊战争的导火索，而单单是她的美丽就使“以前艘战船下水”----这就是我们所说的“倾国倾城”-----而摆 线，就被人们称为【几何学中的海伦】。
其定义由现实的事件出发的：即一个圆沿一直线缓慢地滚动，则圆上一固定点所经过的轨迹称为摆线。这条曲线有很多极其优美的甚至令人吃惊的性质。首先，它的 长度，以及与水平线截成的面积，居然都与π没有关系。比如，它的长度，是旋转圆直径的4倍，面积则是旋转圆面积的3倍。
同时，如果你把这摆线倒过来放置----它会像一只碗----然后在上面的任何一颗小珠子，无论其具体位置在哪，都会在【相同的时间】里滑到最底部。这就是摆线的【等时性】。而这点，使得它被广泛应用在今天的钟表制作上。
另外，在伯努力家族的章节中，我们还会看到，摆线还具有【最速降线】(brachistochrone)的性质，简言之就是，一个质点，从一个给定点下落 到另一个给定点，如果后面这个点不在前点的垂直下方----如果在垂直下方，那就自由下落好了-----那么，这个质点沿着什么样的曲线下降，会使得所需 时间最短呢？（不计摩擦力）
首先令人非常惊讶的是，答案不是直线。而根据古典几何，两点之间直线虽然只有一条，但曲线却有无数条。伽利略曾以为这曲线会是圆，然而他错了，答案正是摆线。这个对“最速降线”的研究，后来还导致了【变分学】的创立。不过此乃后话，按下不表。
且说帕斯卡自进入修道院以后，就认为科学研究都是不好的事，不纯洁的事。因为让人无法集中精力苦修和祷告，因而对精神和灵魂是有害的。但是当数学的美真正绽放它的光辉时，帕斯卡就言了。他发现，每当他想着摆线，一些脑人的病痛就暂停了。
于是，帕斯卡觉得这一定是神谕，是上帝在告诉他，思考科学也许不是对圣灵的亵渎。这让他更加投入的研究摆线，达到了废寝忘食的地步。不久，他就以阿莫斯.德通威尔(Amos Dettonville)的笔名发表了自己的成果。
从那之后，帕斯卡就完完全全在数学上死亡了。他的身体也日渐消瘦，健康状况也达到了一生的最低点。他几乎已经整晚不能睡觉，每天剧烈的头痛就像五万只蚊子 在飞来飞去，而且还伴随有牙痛、胃痛。----可惜他也没有蓝天六必治牙膏。于是，1662年8月19日，帕斯卡终于在巨大的痛苦中，离开了人世，去投奔 他信仰的上帝。
他是值得任何人崇拜和尊敬的一个天才，他事实上也做到了天才该做的一切。
经过漫长的插叙之后，下面我们正式回到费马，来看看他和帕斯卡到底如何一起创造了【概率论】，以及这门学科给后世带来的，几乎延展到日常生活的每一个方面的深远影响。
其实早在远古，古希腊人就讨论过偶然性和必然性的问题。而事实上，现今生活中，我们也有着本能一般的能力，来判断某些事情到底发生与否----前提是这些事情存在“可能性”。
而这其实贯穿了我们日常活动中的很大一部分，比如，你在过马路时，看到远方有车辆驶来。那么，你便会根据车距、车速、马路的宽度、自己的行走速度等等，对安全与否有个大致的判断-----虽然这种直觉并不见的总是对的。
因此，人们对于【可能性事件】的研究，一直模糊不清，而有限的讨论也仅仅局限于哲学的范畴。直到1654年，当时的巴黎上流社会正盛行以娱乐为目的赌博游戏----其中有些成为了现在【博弈论】的一部分。
其中一名名叫安托瓦尼.贡博（Antoinie Gombaud）的梅雷骑士(Chevalier de Mere)经人介绍认识了帕斯卡，然而他作为一个职业赌徒，正沉迷于一种点数游戏。顺便说一句，此人是路易十四宫廷的红人，也正因为此，帕斯卡对他的提问 也格外重视。他所喜欢的赌博游戏的规则有些类似于如今的24点，即哪个赌徒先得到一定的点数，则获胜得到全部赌金。
然而，贡博在一次赌博中，因为要务必须马上离开，那么赌局就被提前中断了。在这种情况下，如果把钱全部给那个点数最多的赌徒，大家都不满意。因为点数多并 不意味着这个人更容易赢。于是，贡博就把“如何更加公平合理的分配赌金”问题，留个了帕斯卡。因为他听说帕斯卡是个数学家，在那种年代，数学家在普通公众 心中，大概类似于职业解题家的杂耍者。
帕斯卡在与费马的通信中谈到了这个问题，他俩都独立而迅速的发现，这个问题本身的解答并不太难。通过计算游戏所有的可能，并对每一种可能的结果推导出它出现的几率，然后根据这个几率来分配赌金，就可以完美的解决贡博骑士的难题。
然而，帕斯卡与费马的互相交流，激起两人对问题进一步的挖掘。天才们很快意识到，对更复杂和更微妙的类似问题的解答，是非常有趣而有意义的。----这也正是数学家的一个特征，他们很难被一个特定的问题所满足，他们所追求的，正是具有【普遍意义】的答案。
很快，帕斯卡和费马就奠定了【组合分析】的基础，以及概率论中最重要的一个基本概念----【数学期望】。所谓组合分析，即找出做一件事情有多少种方法，或者某件事情发生有多少种可能。显然，它与概率论可以说是密不可分的。几乎所有的概率计算都要牵涉到组合数学。
帕斯卡在这样的计算中，大量运用了一个算术三角形----亦即我们所称的【杨辉三角形】。即
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
这个三角形从头两行以后的各行，除了首尾的两个1，其他的数字都是由上一行左右相邻的两个数相加而得来。同时，它第n行中的数也就是(1+x)的n次方 按二项式定理展开的系数。此三角形的应用非常广泛，其性质也非常奇妙。不少古人很早就知道了它，但独创性的把其运用到概率论中，帕斯卡是第一人，因而之后 西方也以帕斯卡三角形命名它。----除开意大利人称其为【塔塔利亚三角形】（Triangolo di Tartaglia）。
费马的工作则在于，他创造性的把赌徒获胜的概率(费马本人并未使用概率一词)和赌金相乘，得到的数字作为衡量一名赌徒的期望获得值----而这正是了现今我们所用的【数学期望】(mathematical expectation)的概念雏形。
帕斯卡把这个概念曾记录在他的思想录里，并用来论证宗教信仰的价值：在他看来，哪怕通过虔诚的苦修而获得永恒幸福的概率非常小，但是永恒幸福本身的价值是无限大，所以宗教是值得人们信仰的----这理论本身不是严密的，然而帕斯卡心甘情愿的相信它。
和所有新生的学科一样，在得到高速发展的同时，概率论也得到了部分的质疑。1657年，惠更斯（Christiaan Huygens）发表了《论赌博中的计算》，使得概率论系统进一步完善和被广大数学界所知。
然而，概率本身也带来了很多奇妙的----甚至于直觉相悖的结论----这就导致了当时的宗教法庭对这一理论持怀疑态度。三个实际后，贝特兰罗素的一句调 侃也许更为恰当描述了这种科学与直觉之间的矛盾：“我们怎么可以谈论【机会】的【规律】呢？机会不正是规律的对立面吗？”
最著名的例子之一就是生日悖论（Birtheday Paradox）。它并非严格意义上的逻辑悖论，其本身并不能导致什么矛盾的结论----然而，它的结论，基于数学的理性的计算，与我们的感性认识，有着如此大的差距，以致于好多人一开始都无法相信它的正确性。
其中一种表述是：一个23人的房间中，有2个人同一天生日的可能性超过50％。那么也就是说，当有人跟你打赌一个足球场上（包括裁判）在内，有没有两人同 生日时，你一定要押肯定的那一边，赢面才会比较大。这个问题，凭直觉似乎是不正确的，区区23人的生日，放到一年365天这样的大区间里，撞车的几率应该 是小得可怜的23/365=6.3％。
更惊奇的是，在23人的时候，这个概率还只是略微大于50％，然而当人数增加到57人时，有两人生日相同的可能性已经达到97％，接近于必然了。具体的计 算方法有多种，以经典的组合分析为手段的话，我们往往考虑这类问题的反面----即23人中，没有两人同一天生日的概率。
具体的等式在此不再赘述，有兴趣的人可以作为一道习题研解。不少教科书上都有详细解答。但正确的答案和直觉之间的巨大差距，可以用下面一幅图来更直观的表示。
其中绿色的曲线，即表示在n人中，存在两人相同生日的概率。可见它的增长非常不平缓，随着n的增大----即人数的增加，概率会如直升机般飞速上升，到 了60左右已经就非常接近于1.0；呃；而蓝色的直线（图上稍有弯曲）表示我们直觉上的概率（是n的一次即线性函数），同时，它也表示，在n个人中，有人 【与你同一天生日】的概率。它的上升速度相对就要平缓得多。
那么，为什么我们会有如此错觉的原因也就很明显了。人们在看到类似“有人生日相同”的问题时，总是下意识的替换为“与我生日相同”，那么其实处理的，就已然不是一个问题，故有天壤之别。
而只有概率论，才能解开这种错误的面纱，并予以类似问题真正正确的理论支持。到了现代，这个分支的应用已经遍及我们日常生活的许多方面，生物及物理方面的 测量，银行及保险业的大量数据统计，等等。虽然这门学科的起源来自于一个卑微的问题，但正是这些微不足道的例子，导致了数学上许多学科的诞生，让天才和后 来的继承者们发现了其内部的深奥的，一般性原理。
除了奠定了概率论的基础，费马在解析几何和微积分领域也做出了开创性的伟大工作。然而，他在解析几何中创造的手法，和笛卡尔有本质的不同。这当然关系到两 人的哲学观。笛卡尔是一个实用主义者，他甚至觉得欧几里德几何中，那种依赖于图形的巧思般解法，是对想象力的一种浪费。----没错，笛卡尔是个激进的改 革者，他批判了古希腊的几何。
因此，他把代数用于几何，完全是双方取长补短的一种手段，并且主要目的是用来创造一种具有【一般性】的方法，可以来批量解决作图问题和其他几何问题。其结 果是，这种混合，使得解析几何称为具有广阔开发前景的学科，但同时导致了包括牛顿在内的一些人的批评----虽然有些人也使用这个工具。不过此乃后话，暂 且不表。
而费马这个纯朴的老实人，却不是这样。在他的小册子《平面和立体的轨迹引论》(Ad Lacos Planos et solidos Isagoge)中，有这样的叙述：只要在最后的方程里出现了两个未知量，我们就能得到一个轨迹，并描绘出一条直线或者曲线。这比笛卡尔7年后的成果更加 直白，虽然费马并不使用负坐标。但在后面的例子充分显示费马完全理解坐标轴，他也允许它们做平移或旋转，以此来得到一些更加复杂的曲线方程。
费马在思想上，是古希腊几何的继承者。他借用韦达(Vieta)的代数解决几何方法，对阿波罗尼乌斯的几何，做了一种重新表述。在这一步上，费马的传统也许使他的解析几何不如笛卡尔那样有革命性，但他在之后的争论中再一次的显示了他的宽厚。
当笛卡尔发表了其《几何》之后，关于解析几何发现优先权的争论，就在当时的学界持续了将近十年。显然的，我们的神童帕斯卡等人支持费马，而德萨格等人则支持笛卡尔。笛卡尔这个人吵架是家常便饭，因而打嘴仗是相当了得。
他讽刺的称费马为极大和极小大臣----费马曾发表论文《求极大值和极小值的方法》(Methodus ad Disquirendam Maximam et Minimam)，并说费马欠了他的债。费马虽然有朋友帮他还击，但在1660年的一篇文章中，费马却宣称他是如此的佩服笛卡尔的天才，虽然后者的工作里 有一些错误---费马所指出的并且确实如此，但他这些错误甚至比绝大部分人没有错误的工作，而更有价值。而以现代观点来看，费马在解析几何中的强调轨迹， 可以说是更超前于那个年代的天才火花。
而在几何的研究中，费马很自然的会遇到求切线、求最大值最小值等问题----而这些正是微积分的起源之一。但鉴于篇幅，我们把这些放到牛顿的章节中再详细叙述。
概率论、解析几何和微积分，任一方面的成果都足以让费马留名青史。然而，这些都还不是费马最热爱的，他最热爱----同时也是他最杰出---的领域就是“数学的皇后”，【算术】或者叫【数论】。
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