读维特根斯坦（数学和逻辑）

读维特根斯坦（数学和逻辑）


这一篇会有一些难度，我认为自己的这一个系列是写给那些想了解语言哲学的人看的，尽量浅出。已经知道的人用不着看，我以为自己缺乏深入的本钱。
西方哲学和神学从来都和数学有密切的联系，以后会进一步谈到，在这一点上和中国哲学走的路似乎有所不同。这个里面有一个很重要的关联，数学是一个很严密的东西，结论会有普遍性。比如说，芙蓉姐姐美不美，难得定论；而1+1=2，没有人去怀疑。所以说，我们要想自己的语言严密而可靠，就得往数学那一边靠。
当人们认识到逻辑比数学是一个更根本的东西时，自然就想语言也得要用逻辑来彻底的整一下，看看哪些东西是合乎逻辑的，我认为这是语言哲学的最重要的根源。所以说，想理解语言哲学不懂一些逻辑就是笑话了。
其实撇开这一点，了解弗雷格是怎么样从逻辑构造出数还是很有些意思的，知道那些最重要的思想是怎么一回事，考察人的智力活动能够到达一个什么样的高度，怎么都会是很吸引人的。而且逻辑是不要什么预备知识的，很多中国人在美国迅速转行做了码工就是证明，相对论就不行，没有相当的预备知识，弄不懂那玩意。
关键就在于要把理念论彻底抛弃，没有什么本质，只有按照一些性质来建立的集。无论什么一元论，二元论都不对，那都是在假设有一个东西是本质。从这一点出发我以为读懂本篇是会有相当的帮助，把观念扭转过来就好办了。
下点功夫无疑能理解一些并不难的逻辑，原因是我做到了，除了我母亲在某些时候以为我很有点聪明（我在文章中说过）以外，没有人有类似的看法，比如太太就经常认为我是愚笨不堪。当然，任何母亲都喜欢说这一类不能当真的话，你看我的孩子是多么聪明，十个月就会说我要什么，什么，但是没料到了三十岁，有些人还是只会说这一句。

下面来对付我认为是困难的一段。
我们首先来看一下所谓自然数系统，正整数和加法,乘法运算构成了一个系统，它概括了所有的正整数，不会出现说不清楚的东西，运算结果一定在这个系统系统以内，因为没有减法，不会出现负数，更不会出现分数。
这是一个最基础的东西，没有了它，可以说整个数学都不大有可能。因为有理数，无理数都得要建立在它的基础之上，它是整个数的基础。
那么第一步就是得想办法把它构造出来。

我想有些人在这里会有些惊奇，这会用得着构造吗？1,2,3,4不是摆在哪里吗？我们不是从经验中得到了吗？
要讨论数学和经验的关系是一个基本不可能完成的课题，因为各人看法并不一致，在很多时候这里的分歧就决定了哲学流派，并无定论。我只讲罗素的看法以及根据，希望你看完了以后，对你能够有所启发。
罗素认为数学是思想的产物，这一句话并不好理解，因为他是一个逻辑学家，说这种话是会很严格的。他没有说数学仅仅是思想的产物，意思可能是尽管经验可能对数学有帮助，谈论与实际无关的数学没有意义，但是，单凭经验我们是不能得到数学的。

首先，自然界并不存在1,2,3,4，只有二个人，三个苹果等等等，数字是一种纯粹抽象。有人到某个原始部落，发现那里的人就不知道数字，你问某人有多少兄弟，得到的回答就是一堆名字，如果太多，或者那人不想麻烦，回答就是很多，根本不知道说有五个，或者七个（英语中的月，星期都是没有几的）。
下一个问题就更关键了，正整数是一个包含无限元素的集合，意味着不可能数出来，比如一个人数一生，或者从地球诞生时就开始数，也只能数到某一个数字，后面仍然有无穷多而数不完。所以说，靠数数不能得到全部正整数。

按照弗雷格的观点，数不能是数出来的，而是用逻辑构造出（0，1，2,3,…）这样一个正整数集。这个过程有点绕口，努力试一试吧。
首先定义什么是数，那是一个集合，这个集合是集的集（开始绕口了）。二个苹果看成一个集，二个人看成另一个集，我们以所有里面包含有一双元素的集的共同点作一个新的集，这个集就是二。
也许有人会说，你不数怎么知道是二，非常正确，我不能知道是二，但是，用一一对应我可以定义什么是数。数是一个集，虽然我不能知道是几，
数（n）《苹果（n），人（n），……》，
数（n）这个集里面又有很多集，这些集的共同点就是包含的元素可以一一对应，这就是数的意思。下面就可以把几弄出来。
首先是0，一个不包括任何元素的集，比如人和非人的共同部分（A和非A的交集）；
这个集肯定是唯一的，实际上我们就有了一；
数@《数（0）》，数@也是一个集，里面仅有有数（0）一个元素。
数（1）《数@，苹果（1），人（1）……》，数@里面只有一个空集数（0），它就与一个苹果，一个人恰好一一对应。
这里的关键是理解空集即是多，又是一，依赖于你怎么样来确定集，对数（0）来说，它是多，有好多个空集；对数@来说，它却是一，唯一的空集。只要这个弯子转过来了，下面照着这个思路继续就可以了，
数@@《数（0），数（1）》，
数（2）《数@@，苹果（2），人（2）……》。
就这样我们不停定义数@@@，数@@@@，…..，
就能够有了数（3），数（4）……，延伸到无穷，就形成了一个正整数系列。
换一种说法，弗雷格纯粹用逻辑构造出一个集合序列，
《 》，《 》，《 》，《 》，……….
下面我们给它们规定符号，开始的那个（不能说第一，因为我们还没有1）是所谓0，就是A和非A交集；接下来的那个是所谓1（同样也不能说第二），是一个集合，里面包含了能一一对应的那些那所有的集合；如此类推下去。
这就是0,1,2,3，…….，也就是自然数，它能满足我们对自然数要求。有了这个序列，接下来我们才可以数数了，我们说三个人，三就是指的那一个能一一对应的集合。
在这里纯粹使用地是逻辑，根本没有数，1,2,3….只是一些符号。
也许有人会说，要怎么复杂干什么，我小时候就是数的。我完全同意，我母亲一样是教我数数的，但是，你数到过多大的数？据说有人睡不着而数到过1000，我没有做过，人数到一定的程度时就自然会明白怎么数下去，这就纯粹是逻辑在起作用，推理出来的。所以说，逻辑才是一个最根本的东西。
弗雷格的这个说法在很多数学教科书中都可以找到，在论及这一段数学史和哲学史的书中几乎一定会有（提到是一定的，不然这本书在讲什么？），那么其为什么这么重要？

就在于弗雷格说出了一个非常重要的道理，实际上正整数是逻辑构造出来的，我们的数数不过是在作一一对应，只不过我们原来不知道。弗雷格第一次揭示了这个有些神秘的过程，这是完全可能是合理的。
从哲学方面来看，与此类似，那些语言哲学家的功绩就是把人们思想中隐秘着的逻辑分析出来，使我们清楚地知道什么的真正的思考，什么在我们思想中具有核心地位。从这个角度来看，他们的重要性不言而喻。也许他们理论并不完善（他们自己毫不讳言这一点，实际上从他们哲学和数学中可以得到：不可能有一个包括一切的完善系统，这一点是他们和传统哲学家最重要的区别），但从开辟了一个新的视角来理解世界这一点上，他们必定是不朽的。
在哲学方面，其重要性我已经讲过了。那么下一步必然要问：为什么逻辑对数学那么重要呢？

那是因为数学的基础一直有一个大问题，二千多年无法回答实数是什么，而这个问题不论在理论上，还是在应用中，都无法回避。
直观地说，数学，数学，连数都弄不清楚，怎么学呢，深一步说，现代的数学不谈集合，根本就没有可能。
应用中的问题更大。举一个简单的例子，计算机每一秒钟都在进行大量的加法，因为要寻址。我们凭什么相信加法的有效性，因为可能算出一个人们不知道的数，从来没有数到过，经验保证不了。
我来说一个数学史上非常出名的实例，但遗憾的是只有学过经典力学的人才能真正理解。牛顿在发现力学三定律的同时弄出了微积分，这可不是偶然的，因为没有微积分，他写不出三定律来，那玩意必须得用微积分这种语言来表达，也才能理解。
而微积分必须建立在实数的连续性上，但是，实数的定义和连续性却是康托尔在将近200年以后才给出。所以说，在康托尔之前，微积分的基础存在着致命的漏洞。
我想有人会说，牛顿力学用得那么好，这不就够了，为什么我们要费那个脑筋。但是这样不行，过去用的好，不一定能证明将来也会不错。比如说，在2到3这个区间里有无穷多，不可数的实数，我们必须得知道这些实数是所谓连续的，不出现其它的玩意，不然微积分就会失效，牛顿力学也会跟着失效。由于那是无穷多，经验和以前的成功都不能保证将来，如果发射了一个卫星，其状态刚刚进入了一个以前从来不知道的间隙，那里实数不连续，卫星就可能掉下来。

所以说罗素认为在弗雷格之前，人们以为数是给数出来的，根本不知道数的真实含义，这个问题不解决，数学就始终是一个悬着在的东西，缺乏基础。
构成正整数和解决实数问题都是用的一个方法，集合论，实际上用的是逻辑。也就是说，如果逻辑这个东西靠得住，那么实数就必须是连续的，卫星就不会掉下来；计算机的寻址也不会出错（实际上除了学龄前儿童，没有人用经验直接来验证加法的有效性）。而在以前，人们只能说：如果实数是连续的，那么卫星就不会掉下来。
我想大家都会同意这个基础就是要扎实得多。

罗素说：
“我认为大学中有院系之分是必要的，但其结果是很不幸的。逻辑被人看做是哲学的一个分枝，而且曾为亚里士多德所论述过，因此大家就认为这一个科目只有熟悉希腊文的人才能讨论。结果，数学只被不懂逻辑的人所讨论。自亚里士多德和欧几里德时代到本世纪，这种分裂是有很大的损害的。”
我前面所说的数学并不包括逻辑，原因就在于此。当然，现在大部分人说的数学都包括逻辑，离开了逻辑不好谈数学，而我说的是历史上逻辑和数学的关系，只能分开谈。
弗雷格是第一个领悟到逻辑对数学的极端重要，由此而来，二十世纪将数学和逻辑结合起来，对数学产生了极大的影响，不夸张地说，这个世纪几乎所有的数学进展，都与这个结合有关。而且还产生了一个弗雷格，罗素都没有想到的学科，计算机科学就是建立在数理逻辑的基础之上。
计算机硬件的基础是以爱因斯坦那一批物理学家完成的；软件基础就是弗雷格那一批数学家奠定的。二十世纪之交这个世界充满了动荡，战争冲突连续不断，很难有人能预测到那些数学家，科学家，而不是政治家，军事家，最终会改变整个世界。
弗雷格很难说是一个传统意义上的哲学家，他的工作集中阐明数学的逻辑意义和语言的逻辑关系上面，恐怕从来没有要想过建立一个解释世界的哲学体系，他只是看到了逻辑对数学的无比重要，因此也想这样来解释语言（也许是反过来的，最大可能是同时的，我不知道），由此他对哲学产生了无比深远的影响。
因为所谓的分析哲学，语言哲学说到底就是：如果严格地按照逻辑，关于这个世界我们能说一些什么。
这是一个非常奇妙联系，现在你可以对语言哲学，分析哲学加以藐视，但是有一个东西却无法否认，那就是计算机科学不能没有命题运算，类型论，如果没有弗雷格，罗素，哥德尔，是不可能有图灵的，那么今天的计算机就不能存在。
所以说，如果你能看到这一篇文章，绝对不是因为在天上有一个理念的计算机，而是因为有建立在逻辑之上的集合论。