正文
《数学：确定性的丧失》——这是真的吗？
一般而言，无论见到数学是如痴如醉的人，还是头昏脑胀的人，无论对数学是敬畏的人，还是恐惧的人，有一点是相同的：认为数学代表了精确，确定或者是真理。并且他们从来没有，甚至不敢对这一信念怀疑过。然而，大众泛泛的观念很少能经起检验。M 克莱因的书《数学：确定性的丧失》所揭示的历史及事实是对此信念的毁灭性的打击。
有人惊奇万分：这会是真的吗？
各个文明的民族都发展过简单的算术和几何。现代研究生院里讨论的大部分数学却不是此类经验数学的直接演化的结果。现代数学的主干是从古希腊的数学的土壤中生长出来的。当然有人不同意此论，但除了强词夺理外，我看不出任何有价值的反对理由。如果你在决定命运的考大学的试卷上对几何的：“证明”题中没给出适当的步骤，你会得到零分。那时你应对此论有一定的认识了。为何要证明？这直接来源于古希腊，确切的说是欧几里得。古希腊人何以想到要“证明”几何命题？这个问题不太好回答。毕达哥拉斯学派认为世界是符合数学规律的——这是一种来源于神秘主义的观念。柏拉图认为数学是独立的一种客观世界。这两种观念对世界影响巨大。反正欧几里得的《几何原本》是试图从几个简单的公理出发，推出全部命题。我们今天的教科书大致是仿此而写的。
对现代数学有重大影响的是伽利略和多普勒二人。伽利略认为应当只对世界作描述“是怎样的”（当然是由数学来描述），而不回答是“为什么是这样”。 多普勒（当你在大街上超速开车而得到一张罚单，警察手中的雷达就是根据多普勒发现的效应——多普勒效应而制造的，若没有多老头，警察是无法知道你车子的速度的）则直接去“发现”数学描述的公式。当然，这是在背后有一种信念支持的：上帝创造了宇宙，宇宙是用数学语言来描写的。我们是去“发现”那些规律。牛顿是最后完成这一工作的。
牛顿创造的微积分或现代分析在物理世界的应用取得了惊人的成就，特别是海王星和冥王星是先由数学方程而推知的，然后才用望远镜找到的。这一切使人信服：自然界是依数学设计的，自然界的真正定律是数学。
在那个时代，数学大厦是人类理性所认识的真理，几乎无人敢怀疑。
然而，这一信念在十九世纪的下半叶却开始逐渐动摇了。
造成这一现象的动力不是来源于对数学的抨击，而是来源于数学家们想千方百计完善数学这样真理大厦的努力。这一切是从欧几里得用到的第五公设开始的。这一公设又叫平行公理，用今天课本上的叙述是：过已知直线外一点，有且仅有一条直线和已知直线平行。数学家们想“证明”它，结果却“发现”了非欧几何。非欧几何断言：一个三角形的内角和不等于180度，可大于、或小于180度。它们是有逻辑一致的几何。后来的数学家逐渐认识到：非欧几何完全可能是用来描述一种物理世界。当年，数学家却坚信物理空间的几何必定是欧几里得，现在看来，它仅是人类的经验在一定尺度上的推论而已。
“数学家们一直相信他们已十分成功地揭示了自然的数学设计，然而，现在他们却不得不承认数学定理并非真理。”
这一承认是十分痛苦的。数学的大厦是真理——这仅仅是一种幻觉。“人类推理的骄傲”随着真理大厦的坍塌而崩溃了。
数学向何处去？
一般而言，无论见到数学是如痴如醉的人，还是头昏脑胀的人，无论对数学是敬畏的人，还是恐惧的人，有一点是相同的：认为数学代表了精确，确定或者是真理。并且他们从来没有，甚至不敢对这一信念怀疑过。然而，大众泛泛的观念很少能经起检验。M 克莱因的书《数学：确定性的丧失》所揭示的历史及事实是对此信念的毁灭性的打击。
有人惊奇万分：这会是真的吗？
各个文明的民族都发展过简单的算术和几何。现代研究生院里讨论的大部分数学却不是此类经验数学的直接演化的结果。现代数学的主干是从古希腊的数学的土壤中生长出来的。当然有人不同意此论，但除了强词夺理外，我看不出任何有价值的反对理由。如果你在决定命运的考大学的试卷上对几何的：“证明”题中没给出适当的步骤，你会得到零分。那时你应对此论有一定的认识了。为何要证明？这直接来源于古希腊，确切的说是欧几里得。古希腊人何以想到要“证明”几何命题？这个问题不太好回答。毕达哥拉斯学派认为世界是符合数学规律的——这是一种来源于神秘主义的观念。柏拉图认为数学是独立的一种客观世界。这两种观念对世界影响巨大。反正欧几里得的《几何原本》是试图从几个简单的公理出发，推出全部命题。我们今天的教科书大致是仿此而写的。
对现代数学有重大影响的是伽利略和多普勒二人。伽利略认为应当只对世界作描述“是怎样的”（当然是由数学来描述），而不回答是“为什么是这样”。 多普勒（当你在大街上超速开车而得到一张罚单，警察手中的雷达就是根据多普勒发现的效应——多普勒效应而制造的，若没有多老头，警察是无法知道你车子的速度的）则直接去“发现”数学描述的公式。当然，这是在背后有一种信念支持的：上帝创造了宇宙，宇宙是用数学语言来描写的。我们是去“发现”那些规律。牛顿是最后完成这一工作的。
牛顿创造的微积分或现代分析在物理世界的应用取得了惊人的成就，特别是海王星和冥王星是先由数学方程而推知的，然后才用望远镜找到的。这一切使人信服：自然界是依数学设计的，自然界的真正定律是数学。
在那个时代，数学大厦是人类理性所认识的真理，几乎无人敢怀疑。
然而，这一信念在十九世纪的下半叶却开始逐渐动摇了。
造成这一现象的动力不是来源于对数学的抨击，而是来源于数学家们想千方百计完善数学这样真理大厦的努力。这一切是从欧几里得用到的第五公设开始的。这一公设又叫平行公理，用今天课本上的叙述是：过已知直线外一点，有且仅有一条直线和已知直线平行。数学家们想“证明”它，结果却“发现”了非欧几何。非欧几何断言：一个三角形的内角和不等于180度，可大于、或小于180度。它们是有逻辑一致的几何。后来的数学家逐渐认识到：非欧几何完全可能是用来描述一种物理世界。当年，数学家却坚信物理空间的几何必定是欧几里得，现在看来，它仅是人类的经验在一定尺度上的推论而已。
“数学家们一直相信他们已十分成功地揭示了自然的数学设计，然而，现在他们却不得不承认数学定理并非真理。”
这一承认是十分痛苦的。数学的大厦是真理——这仅仅是一种幻觉。“人类推理的骄傲”随着真理大厦的坍塌而崩溃了。
数学向何处去？
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