数论人生

数论是一门学科,也是我的人生。有人把酒论英雄,我用数字描天下。
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数学的学科对象以及方法

(2021-11-28 19:21:11) 下一个

数学是从数字的角度来描述自然现像;按照现实的需求,至今已发展出了五大分支:

几何:为了直接丈量土地而产生的《欧几里德几何》。为了间接测量而生的《仿射、投影几何》。无穷远处的《非欧几何》。精准定位的《解析几何》。极值化的《微分几何》。最一般空间上的《拓扑学》。模形式化的《代数几何》。

代数:研究数字及变量运算规则的《初等代数》。研究一般代数结构(群、环、域、模等)的《抽像代数》。研究有限维向量空间的《线性代数》(《高等代数》则包含多项式的理论)。研究整数性质的《数论》。方程的根式解由《伽罗华理论》否定。《组合数学》研究计数与组合设计。《图论》或者《离散数学》纯粹是为了好玩而已。

分析:《微积分》,这是人类数学认识史上的第三次、也是最后一次飞跃:极限概念的引进。《实分析》推广了度量的概念。《复分析》让一切求根问题得以解决(尽管只是理论上的)。《微分方程》给出了一类函数方程的解法(尽管不是全部的解)。《泛函分析》高度概括了经典分析的结果,无穷维空间的性质也被彻底揭示。《张量分析》是为了满足物理需求而人为组数的结果。

数学基础:包括《逻辑学》、《递归论》《集合论》、《范畴论》、《可计算性理论》、《证明理论》、《构造数学》。

应用数学:《概率论》,《统计学》(含《随机过程》),《博弈论》,《系统和控制理论》,《数学规划》,《运筹学》,《数值分析》,《数学物理》,《计算生物化学》,《计量语言学》,《计算机科学》,没完没了。

 

为什么要设这么多科?因为要研究的对象太多。主要的数学对象有数、集合、空间、函数或对应;怎么不说形状呢?那不过是一种对应关系。数有多种:单个的数,包括自然数、整数、有理数、实数、复数、四元数、八元数,任何二的幂次都有对应的一种数;组合的数,有向量、理想、矩阵、张量、可数维度的级数(或乘积)、连续维度的积分、超连续基数的表示式。

集合就不止是超连续基数的范围了:你把任何东东放在一起,都可以叫做一个集合;唯一的要求是,得有一个确定的规则,可以判定任何一个东东是不是在这个集合里,甚至只是一定的可能性在此集合里。数学里的集合,就跟物理中的物体一样广泛,根本就不可能列举,有的甚至都不可描述:人类的科学太微不足道了。

空间是具有一定结构的对象的集合、或者集合的集合。这些对象之间存在某种关联;结构指的就是对象之间的相互关系。在物理、化学中,可能是它们之间有某种相互作用力、或者有发生某种化学反应的趋势。在数学中,关系是完全抽象的:可能是顺序关系(或者位置关系、包含关系?),连接(或者靠近)关系,合并或者分离关系,变换(或者运算)关系。任何一种关系,都需要一些公理来控制、规范,空间才会达到某种暂时的稳定性,那怕是昙花一现,也才算是存在过。

不同的空间之间,肯定存在某种联系;基于这样一条公设:任何存在,都有因果。八杆子打不着的,八百杆子、八万杆子肯定够得着!数学上就人为地构造了两个空间之间的对应、或者变换规则;那些称之为函数的,就是把一个个体对应到一个数而已。那些称之为变换或者算子的,就是把一个东西变换成另外一个东西。几何里的n维流形,就是从n维空间里的一个区域到m (≥ n) 空间里的一个映射。任何集合的构造,都可以用映射来表示。

 

数学工作者们要做什么呢?教师自然是把已知的东西,一代代往下传;若偶尔有点新发现,则会成名成家、向数学家的行业靠拢。数学家们则是查缺补漏:已有各对象之间的关系都弄清楚了吗?出现新的研究对象没有?它与已有对象有什么关系?更重要的是,开创新的研究方法;可各门学科都有自己的方法;要掌握已有的方法,就得花费好一阵子的功夫。

  1. 配方法;
  2. 归纳法;
  3. 换元法;
  4. 穷举法;
  5. 演绎法(套公式);
  6. 补集法(间接计数法);反证法;
  7. 倒推法;
  8. 待定系数法;
  9. 分组、按位相加法;
  10. 用抽屉原理证明存在性;

 

  1. 求公因式的辗转相除法(整数、多项式、矩阵、任何整环);
  2. 卷积(叉积)法(数列、递归);
  3. 数列的积分表示法;
  4. 不可约数式的判定方法;

 

  1. 解三次方程的Cardano方法;
  2. Tschimhausen变换法;
  3. 多项式插值法;
  4. 有限差分法;
  5. 拆项法(部分分式分解法);
  6. 解一般方程的二分法;
  7. 牛顿法(解方程、数值分析);

 

  1. Fermat最速下降法(不定方程);
  2. 圆法(解不定方程);
  3. 模化法(同余式约简);
  4. 解差分方程的Laplace方法;

 

  1. 高斯消元法;
  2. 矩阵的行(列)变换法;
  3. 逆变换法(数列、函数、积分、级数);
  4. 基底表示法;
  5. Gram-Schmidt正交化算法;
  6. 原子、分子轨道的线性组合方法(化学);

 

  1. 微元法;
  2. 凑全微分法(可先乘以一个因子);
  3. 上、下极限(积分)夹逼法;
  4. 用中值(介值)定理证明存在性;

 

  1. Dijkstra算法(图论中求最短路径);
  2. 位相法(估计大参数积分);
  3. Lagrange 乘子法(求条件极值);
  4. 线性规划的单纯形法;
  5. 求最优函数的变分法;
  6. 最小二乘法(统计、函数逼近);
  7. 正交分解法;
  8. 扰动法(泛函分析、量子理论);
  9. 活动标架法(微分几何);

 

  1. 特征值法(解差分、微分方程,矩阵、线性变换的对角化)
  2. 分离变量法(解微分方程);
  3. 变系数法;
  4. 首次积分法(解微分方程);
  5. Green 函数(构造边值问题的解);
  6. 势函数方法;
  7. 围道积分法(复变函数);

 

  1. 矩法估计(统计、理化);
  2. 极大似然法;
  3. Monte Carlo方法(统计,计量理化);
  4. 不动点方法(泛函分析推存在唯一性);

这里列举的,肯定不是全部已知的;而且,只要还会出现新的问题,就会有新的方法被发明出来。问题的结果,只能说是被发现;但是,方法,一定是真正的发明。在学校里学习现有知识时,只要掌握了相关的方法,就没有学不会的东西。再难的问题,只要有一定的理解能力,都可以解决。

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