你真的读懂“三体”了吗？执剑人欧拉有特解

2019年1月3日，中国「嫦娥四号」探测器成功在月球冯.卡门环形山着陆，这是人类探测器首次造访月球背面。

就连SpaceX的CEO埃隆·马斯克和美国NASA局长布里登斯廷都在第一时间发来贺电。

中文世界又普大喜奔了。

 

01

 

世界上最喜欢月亮的，一定是说中文的。月亮为古往今来的文人墨客贡献了多少诗词名篇啊。在传统文化中，月亮伴随着神话飘然而至，在神话和诗词的国度中，“中国月亮”不一定是最圆，但一定是最美的。

当西方文化热恋太阳神阿波罗时，我们偏不，全世界就我们以月亮设定历法。用阴历计时使中国历史走过了辉煌的农业文明时代，中华文明得以生生不息。

霍如羿射九日落，矫如群帝骖龙翔；嫦娥应悔偷灵药，碧海青天夜夜心。中国历史上最著名的一对夫妻，一个射日，另一个却奔月。射日的后羿不管如何英雄，终究与草木同朽了，而奔月的嫦娥，不管悔不悔，直到今天依然还是最美的化身。

 

 

“中国月亮”在中国文人心中永远是月出皎兮,佼人僚兮！

但是“外国月亮”，在老外眼中，却是最头疼的问题，据说牛人的祖师爷 -- 牛顿给他什么问题都无法令他头痛，除了思考月亮。

牛顿在划时代巨著《自热哲学的数学原理》用数学方法严格地证明了开普勒三大定律，从那以后，二体问题（就是只考虑太阳和地球）就再也不是问题了。但是月亮加入以后，三体问题就让牛顿头疼了，不止牛顿，在他以后，月亮问题成为折磨最多天才的三体问题之一。

（可见二人世界是最简单的，增加一个小三如美丽的月亮，问题的复杂度一下子增加了上千万倍）

三体问题是天体力学中的基本力学模型，它是指三个质量、初始位置和初始速度都是任意的可视为质点的天体，在相互之间万有引力的作用下的运动规律问题。三体问题最简单的一个例子就是太阳系中太阳、地球和月球的运动。

2018年度克拉克想象力服务社会奖得主，科幻作家刘慈欣的《三体》就是以三体问题为基础，书中的邪恶外星人，科技水平远高于地球人的三体人，从古至今都在试图解决三体问题，而后来这在三体192号文明中被证明无解。

 

（你真的读懂“三体”了吗？）

在地球文明中，牛顿是最早提出三体问题的, 其后拉格朗日、欧拉、庞加莱等天才都纷纷投身其中。

1900年，数学武林盟主希尔伯特在他著名的23问中，举了两个典型例子，一个是费尔马猜想，另一个就是三体问题。最终，费尔马猜想在1994年被美国的怀尔斯解决，而三体问题至今还未解。三体问题有多重要，就有多难解。

就是天才如牛顿，穷极一生也没有解决三体问题。后来他不得不放弃了，他认为我们的太阳、地球和月亮的系统是不稳定的，就像是三个调皮的小孩，即使彼此之间曾有线连着，最后也会不听话地散开跑远。

但是我们的欧拉不信，他在牛顿的基础上，想解决这个问题。结果，面对这个最美的月亮，他花了数十年时光，最后，无奈地宣布，自己这四十年的努力都失败了，月亮没有给欧拉远带来任何诗情画意。

其实不只是牛顿，欧拉，包括后来的拉格朗日、拉普拉斯、泊松、雅可比、庞加莱等等超级大牛，都偏偏不信邪，飞蛾扑火般地为这个问题穷尽了一生精力，最终都只好承认对于N>3的N体问题，根本无法求出解析解。

而三体问题是多体问题当N=3时候的最简单特例，到今天，数学界终于承认，三体问题不能精确求解，即无法预测所有三体问题的数学情景，只有几种特殊情况已研究。  

虽然前方是一片黑暗，连数学天才们都已皓首穷经苦求无果，但是探索的道路是一片光明的。

生活就像一盒巧克力，你永远不知道你会得到什么。晚年的欧拉也没有想到他会在三体问题上得出了一个相当意外的杰出成果，他终于发现了三体运动的3个特殊解，当时他已经60岁了。在这3个解之中，3个质点始终共线且绕质心做椭圆运动。这三个点被称为“欧拉特解”。

欧拉求解过程中，做了个绝妙处理，创立了旋转坐标系，这是三体问题上的一个重要里程碑。

限制性三体问题一共有五个特解，欧拉求出3个，拉格朗日推导证明剩下两个。后世称之为“拉格朗日点”，其实应该称为“欧拉-拉格朗日点”才更名副其实。

 

要知道在“三体问题”被提出的三百年内，仅仅有三种类型的解被发现。

直到2013年，才有了重大突破。两个塞尔维亚物理学家采用计算机数值模拟发现了13类新特解。

拉格朗日点在天文和航天学上有着很重要的应用，1906年，一颗活泼好动的小行星“阿喀琉斯（Achilles）”出现在人们视线里，睿智的天文学家们马上联想拉格朗日点，在寻寻觅觅以后，在木星轨道上发现了希腊（Greek）小行星群和特洛伊（Trojan）小行星群，它们与木星、太阳正好处于等边三角形顶点处，这个正是数学上证明求解出来的两个拉格朗日点。

 

到2007年9月，已经确认的特洛伊小行星有2239颗，这些小行星也被统称为特洛伊群（或特罗央群）小行星。对于数学，这是一个惊人优美地验证，也是对欧拉和拉格朗日最好的赞赏。

在这四十多年中，宣称自己失败的欧拉其实做出了惊人的贡献，在三体问题上的探索求解，它们可能比答案更为重要。

在欧拉持续数十年的工作之后，他完整建立了月球理论。

欧拉是月球运动理论的实际创立者。

失败的欧拉也让自己成为月球动力学创始人，伟大的天体力学家。

三体运动已经是对天体运动的极端简化了，然而即便如此，庞加莱发现三体运动经常是混沌的，只要有一点偏差，随着时间推移，就会失之毫厘谬之千里，完全无法预测最终状态为何，这就是混沌理论，蝴蝶效应。所以对于星辰大海，浩瀚宇宙，我们无法不敬畏.

 

02

 

未经审视的人生，是不值得度过的。-- 苏格拉底

1726年，出身平凡的美丽文盲，传奇女沙皇凯瑟琳一世向欧洲广撒英雄帖，招募杰出的科学家到俄罗斯科学院任教。俄国皇家科学院由彼得大帝于1724年创建，当时是一个对外颇具吸引力的地方。资金充足，藏书丰富，重视研究，没啥教学负担，有充分的时间及自由探究科学问题。

后来爱因斯坦终老一生的普林斯顿高级研究所有点山寨俄罗斯科学院的意思。

约翰·伯努利的两个儿子数学家丹尼尔·伯努利和尼古拉二世·伯努利都已经在此混了一段时间，尤其是欧拉的发小兼死党丹尼尔·伯努利，作为伯努利家族代表人物之一，混得风生水起，竟然身兼数学所，物理学所和生理学所的若干重要职位，觉得忙不过来了，他推荐欧拉来接替他自己在生理学所的职位。为什么是生理学所？只能说天才跨界总是比我等凡人容易多了。

1727年，欧拉顺利抵达俄国首都圣彼得堡，没想到的是，等着他的居然是俄国秘密警察......

原来，还算开明的女皇凯瑟琳一世在同一天刚刚驾崩，继任的彼得二世才12岁，主少国疑，俄国贵族里的野心家就纷纷上场表演了，俄国进入长达20年的血腥内战。

但这种野心家当权，通常觉都睡不安稳，疑心暗鬼，草木皆兵，很自然的，他们也怀疑科学院的外国科学家，不单派驻秘密警察，切断了科学院的财政支持，还经常处处找麻烦。

欧拉适逢其时，悲催地被安排下放到海军部当一名医官。

当时俄国人极端敌视外国人，许多人逃离俄国，包括欧拉的死党丹尼尔·伯努利，他受够了审查机构的种种行为和敌意，逃回巴塞尔。

欧拉也想逃，但天意弄人，他怎么都逃不成，先是准备大婚（1734年迎娶了画家乔治·葛塞尔的女儿凯瑟琳）不好当落跑新郎，然后婚后要跑吧，行动前发现妻子怀孕了，爱家的欧拉只好暂缓逃亡计划，来年再次计划逃亡，发现妻子又怀孕了......

索性不走了，就这样，在政局动荡的时代，在秘密警察的监视下，他坚持研究数学达15年之久。

苏格拉底说：未经审视的人生，是不值得度过的。

 

欧拉用他最青春宝贵的岁月证明了这位伟大的希腊先哲的人生命题。

他在这段时间写成的作品，日后由瑞士政府集结成《欧拉全集》，足足有一百册。

只是辛苦了这些年监视欧拉的秘密警察，不知道被迫补了多少数学。

对欧拉来讲，人生也很梦幻，遥想当年，博士毕业，名师益友，身怀绝世武功，任谁也会憧憬一下鲜花着锦，烈火烹油的锦绣前程，谁知，命运却安排了不断被监视和在苦难中淬炼的十五载漫长岁月。

只是谁能断言这究竟是福是祸呢？谁说冥冥之中没有天意呢？

这十五载的苦难岁月，反而为他隔绝出一个无需迎来送往、没有世俗酬酢的研究天堂，因而也成就了他--人类历史上最多产的数学家。

 

03

 

什么是数学? 数学是上帝花园中精选的百合花。—— 欧拉

 

欧拉的多产，不但表现在数学上，也表现在生孩子上，他一共有13个孩子，不过只有5个幸存了下来。

欧拉可以在任何地点、任何情况下进入工作状态，他如果发朋友圈，最常见的一幕是这样的：他一手抱着婴儿，让大孩子围在他的身边嬉戏，然后一边写数学论文。他还喜欢用自己的小孩做背板在上面推导公式。

 

欧拉的许多篇数学原稿是写在孩子吃饭的围兜上、给孩子擦嘴的纸巾上……

这让那些辅导孩子作业导致心脏搭桥脑出血的家长们情何以堪啊。

但你若以为欧拉醉心数学，而忽略了孩子们，那你就错了，天才就是能做到面面俱到，欧拉不但是数学家，他还是教育家，而且都是伟大级别的。

实际上，数学家的教子之道也是与众不同的，欧拉教孩子数学，会设计许多数学游戏；让孩子们真正在玩中领略到数学的乐趣。

比如这样的趣题：

“父亲临终时立下遗嘱，按下述方式分配遗产：老大分得 100 克朗和剩 下的 1/10；老二分得 200 克朗和剩下的 1/10；老三分得 300 克朗和剩下的 1/10；老四分得 400 克朗和剩下的 1/10；……依此类推分给其余的孩子。最 后发现所有的孩子分得的遗产相同。问遗产总数和孩子总数以及每个孩子分 到的遗产各是多少？”

一道初等数学的简单应用题，经过欧拉的精心编写，大大激发起孩子们 的学习兴趣。

每天晚上，欧拉会把儿女们聚在一起，对他们读一本书，讲一篇数学，再为他们一一祷告。

欧拉的长子约翰. 欧拉（Johann Albert Euler）日后很有成就的天文学家和数学家曾回忆道：『父亲为我们念书，我们觉得太好听了，请父亲再念一遍。我仍然记得，父亲是把书本合起来，从书本的第一行讲到最后一行……父亲还背了许多数学公式与复杂的数学计算。在父亲的身上，我看到数学不只需要理解，也需要记忆。』

欧拉不但教自己的孩子，他还在宫廷为公主们讲授数学、物理、天文、哲学乃至神学方面课程。这些课程后来成为一本非常著名的青少年书籍--《致一个德国公主的信》，这是一部文笔优雅的幽默科普著作，后来译成多种语言流传世界各地。

欧拉在书中写道：“任何抽象的思考，或是一般性的想法，离开文字都无法存在。文字的存在不只是为了人与人的沟通，也是为了帮助人对真理有更深的耕耘。有人声称真理来自证据，我却认为证据没有文字化，人还是不认识真理。所以在圣经新约约翰福音的开始，第一句话就是“太初有道”，这是一开始，上帝就将他自己，以文字的方式来表达那最核心的真理。”

伟大的教育家欧拉对数学的看法是人生必读的经典：『数学家就是艺术家，像是米开朗基罗躺在教堂的天花板下，以无尽的热情，一笔、一笔地描绘出最精确的图画……什么是数学? 数学是上帝花园中精选的百合花。』