也谈“脏脸博弈”问题（1）

榕城老应

一桌人在吃烧烤，其中有三个人不小心将酱汁沾到脸上，大家都能看到别人的脸但不知道自己的。出于礼貌各人都默不吱声，也不敢露怯去擦自个儿的脸。这时候女招待进来说：“这里有人脸脏了，请他自己擦了！”连说两次都没人反应，到了第三次，刚好是这三个人明白过来，把自个儿的脏脸擦了。问他们是怎么知道的？

这个问题是 1953 年 Littlewood 书中一个例子的变种，中文称为“脏脸博弈”。其他诸如帽子颜色，眼睛颜色，一个村庄的惨案等等都是这个问题的变种，具有相同的逻辑结构。这类问题逻辑上比较绕，需要有很清晰的头脑才能想通。我看过的解法都没把道理说透。直到学了“公共知识”的理论才想通了。在这里将体会给大家介绍一下。

首先，女招待的话包含两个内容。一是：至少有一个人脸脏了。二是：要求知道了的人自己出来承认。这一桌人都不傻，都会根据女招待的话和大家的反应去猜测自己的状态。

女招待说后，“至少有一个脸脏了”这个判断就成为大家的公共知识，谁都可以用它来进行推断。这时候大家想：如果只有一个人脸脏了，那么这个脏脸的人会看到别人全是干净的脸，他就该明白这个脏脸人是他自己了。女招待说了一次后，他就会马上把自己脸给擦了。女招待说了一次后没人行动，这说明原来的假设不对了，这脏脸的人至少得有两个。

大家都是聪明人，我知道这推断，你也知道这推断，我知道谁都知道这推断，谁都知道我知道这推断，。。。，一句话，这“脏脸的人至少有两个”也成了公共知识，大家都可以用来推测别人的推断。好了，如果只有两个脏脸，那其中一人只能看到一个脏脸，他就该明白自己也是脏脸。女招待催促第二次后，他俩会乖乖地把脸擦了。还没人出来认账，说明这脏脸的人至少有三个。

当这三位脏脸的老兄，在现实中只看到桌上两个脏脸时，就会在女招待第三次催促时把脸给擦了。至于桌上的其他人，知道至少有三个脏脸时，他们看到的是三张脏脸，正在忐忑不安地看别人的反应，还无法判断自己是否脏脸。到了这三位脏脸的老兄擦了脸，其他人就明白了原来自己的脸不脏，不然这脏脸的老兄看到的也是三张脏脸，就不会推断出自己的脸脏。

依照这个逻辑，我们可以很容易地推广到 N 个脏脸人的情况，他们都会在女招待第 N 次催促后明白过来。请注意，这桌中还可以有任何数量脸没脏的人。

在这个问题解法中，女招待的“至少有一个脸脏了”这句话是个关键，它提供了整个推理的支撑。但是桌中的所有人在女招待来到之前都看到了这个事实。从信息的角度，这女招待没有提供任何新鲜的东西，为什么会造成不同呢？这“桌中至少有一个脸脏了”的事实，女招待不说也是：我知道，你知道，大家都知道，你能推测出我知道，我也能推测出你知道。这众所周知的事实能不能代替女招待的话，用它来做上述解法的起点呢？