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有趣的概率问题 三

(2022-01-08 05:18:40) 下一个

 Monty Hall 问题

 

1

 

Monty Hall是一个电视节目的主持人,他在美国的电视上主持一个名叫 Let’s Make a Deal 的电视节目,就是让我们做个交易吧。

主席台上有三扇门,主持人事先在每扇门后各放了一个礼品。其中一扇门后是一辆名贵跑车,而另外两扇后面各有一头漂亮的驴。主持人告诉大家:现在随机抽取一位幸运观众,由他随意选一扇门,门后的礼品就是他的奖品。很显然,名贵跑车是大家心中的期盼。

幸运观众甲选好一扇门牌,门尚未打开。主持人在剩下的两扇门中有意打开了一扇有驴的门,然后问幸运儿,愿不愿与剩下的门交换。这位观众挠挠脑袋,拿不定主意。

聪明的读者,假如您是那个幸运儿,是换,还是不换?

 

2

 

这的确是一个有意思的问题。有人给当时IQ最高的Marilyn vos Savant写信请教。Marilyn vos SavantIQ在吉尼斯的记录保持者,其IQ高达228分。Marilyn vos Savant信中说,应该换,并且解释说:如不换,他得到跑车的概率是1/3,换以后得到跑车的概率将升至2/3。这封信发表在1991Parade杂志的“Ask Marilyn”栏目中。

不料想,这样一封信,就象一阵风,吹皱了一池春水。或者更准确地说,是掀起了轩然大波。

当时有不少数学家和统计学家加入了声讨Marilyn vos Savant的行列。他们认为Marilyn vos Savant犯了很低级的错误,有人甚至要求Marilyn vos Savant为所犯的错误向公众道歉。而事实上,犯错的不是Marilyn vos Savant,而是他们自己。

为什么会这样呢?因为这有悖于大家的直觉。

直觉是什么呢?一般人的直觉是,既然跑车在剩下的门中,换与不换没有差别,每个门后有车的概率就都是1/2

 

3

 

为什么直觉是1/2呢?很可能是大家忽略了主持人是有意打开了一扇有驴的门。如果主持不是有意,而是随意也就是随机打开一扇门,碰巧发现是头驴,这时换与不换没有差别,答案都是1/2

我们用(XYZT)表示:一号门后有X,二号门后有Y,三号门后有Z,主持人打开的是T号门。为叙述方便,我们不妨假设观众选中了一号门,于是我们的样本空间就是下面的六种情形,每一种情形的概率都是1/6

1:(车,驴,驴,二)

2:(车,驴,驴,三)

3:(驴,车,驴,二)

4:(驴,车,驴,三)

5:(驴,驴,车,二)

6:(驴,驴,车,三)

假如主持人随机选了一扇门,比如二号,碰巧发现是头驴,这就意味着情形1或者情形5发生了,这时车在一号门与在三号门是机会均等的,换不换没差别。

 

4

 

假如主持人有意打开一扇有驴的门,就不可能出现前面的情形3和情形6,只有下面的四种情形了,其中情形12发生的概率分别是1/6,情形34发生的概率分别是1/3
1:(车,驴,驴,二)
2:(车,驴,驴,三)
3:(驴,车,驴,三)
4:(驴,驴,车,二)
这时如主持人打开了二号门,就成了情形1或情形4了,这时由条件概率公式,可以得出车在三号门后的概率是2/3,在一号门后的概率是1/3

 

5

 

还有一个比较明显的理由:车在一号门后的概率是1/3,而在另外两扇门后的概率是2/3。由于主持人有意把有驴的门打开了,另一扇门后有车的概率就是2/3了。  

这和Bertrand的盒子悖论是不是非常类似?算得上是异曲同工了。

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