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有趣的概率问题 五

(2022-01-13 06:12:23) 下一个

  两个信封问题

 

1

 

有两个一模一样的信封,里面都装有现金,其中一封是另一封的两倍。你可以随便选取一个信封,其中的现金是你的奖品。在你还未打开选好的信封之前,问:要不要换成另一个信封?

 

换,还是不换?

 

2

 

决定换还是不换,准则只能是另一封信里的钱是否更多。

 

如何知道另一封信里的钱是否更多?在没有打开信封之前,不可能知道里面有多少钱,那是一个未知数,或者准确一点说,是个随机变量。对待随机变量,我们无法事先知道它的精确值,但有时能算出它的数学期望值。数学期望值,实际上就是我们常用的平均值。如果知道随机变量的概率分布,就可以算出它的数学期望值。比方说,如果随机变量X可以取值ab,其期望值E(X)就是E(X)=ap+bq,其中pq分别是X=aX=b的概率。因为X只取ab两个值,必定有 p+q=1。粗略地说,如果你不知道随机变量的精确值,往往可以用期望值代用。

 

 

3

 

如何计算信封里现金的期望值呢?下面是一段推理,称之为推理一。

 

1:用A表示所选信封里的现金。
2A是小钱的概率是1/2A是大钱的概率也是1/2
3:用X表示另一封信里的现金,则有p = P(X=2A) = 1/2, q = P(X=A/2) = 1/2
4:所以X是一个随机变量,其数学期望值为E(X) = (1/2)(2A)+(1/2)(A/2) = (5/4)A
5:因为E(X) > A,换是合理的选择。

 

这段推理有问题吗?似乎每一步都合情合理,中规中矩。

 

假如推理正确无误,那么再问:想不想换回原来的信封? 

 

又该如何是好?

 

 

4

 

细想的确有点不对劲,但问题出在哪里呢?

 

先看第4步。从期望值的计算来看,信封里的现金变成了要么是大钱2A,要么是小钱A/2,大钱小钱之比是4,明显和原题有出入。原题中的大钱小钱之比是2

 

4步的计算来自第3步,所以我们看第3步。第3步说,另一信封里的现金是大钱和小钱的概率各占一半,并无不妥。

 

再看第2步。有问题吗?

 

有!

 

细思极恐,问题就出现在不经意的细节。

 

不错,A是小钱和大钱的概率的确都是1/2,但大钱和小钱是不同的值,用同一个数A表示容易引起误解,后面的错误就是源于此处。实际上A是一个随机变量,它是大钱和小钱的概率各占1/2

 

 

5

 

我们换一个思路,看下面的推理二。

 

两个信封,一个里面的现金是B元,另一个是2B元。用Y表示所选信封里的现金数,则Y是一个随机变量。我们有 P(Y = B) = 1/2P(Y = 2B) = 1/2。这里可以看出,Y是大钱时它的值是2BY是小钱时它的值是B,不能简单的用同一值表示。

 

X表示另一信封里的现金数,则有 P(X = 2B) = 1/2P(X = B) = 1/2。所以E(X)=(1/2)(2B) + (1/2)B = (3/2)B。同样,E(Y)=(3/2)B

 

两个信封里现金的期望值一模一样,交换不带来任何好处。

 

6  

 

下面的领带问题是一个变种,同样有趣。

 

情人节过后,两个男人在酒吧见了面,每人都打了一条新领带。甲说:很高兴见到你,瞧我太太给我买的领带,又便宜又好。” 乙说:可不是吗,我太太给我的领带更便宜更好。于是两人顶上嘴了,都宣称自己的太太更加贤惠能干,买的领带更加实惠合适。好在两位都是绅士,决定用打赌的方法解决争端:谁的领带贵就把领带送给对方。

 

甲心里想:如果我输了,输的是我的领带,如果赢了,就是赢更贵的领带,输和赢的概率都是1/2,因此期望值总是正数。这个赌只赢不亏。” 于是甲非常高兴。

 

乙也是同样的想法,自然眉飞色舞。

 

为什么会这样呢?

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阅读 ()评论 (6)
评论
梅华书香 回复 悄悄话 好文章
longbridge 回复 悄悄话 很多概率问题 可以用数学方法计算出来,例如买彩票或开赌场。但有些情况下出现的概率令人感到匪夷所思。我有一次给挂钟换#7电池时,不慎将电池从2米多高处掉落下来,奇迹出现了,电池竟然竖直站在地上。这个概率小到什么程度又该如何计算?
cys254 回复 悄悄话 如果输了,输的是太太的心意,这个比领带值钱多了。
内务府 回复 悄悄话 奇怪,怎么发出来贴,只剩了一半。算了,不发了。
内务府 回复 悄悄话 领带价格分别是X和Y;赢输可能1/2;手里拿X领带的人打赌的期望值是1/2 * 0 + 1/2 * Y = Y/2. 只有在X
6ba6 回复 悄悄话 有意思, 谢谢分享!
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