24 Hilbert旅馆

德国数学家David Hilbert是Cantor的坚定支持者。他有句名言：“No one shall expel us from the paradise which Cantor has created ” 就是说：“没有人能够将我们从Cantor建造的天堂中驱离。”

Hilbert旅馆是Hilbert发明的旅馆，那里有无穷多个房间，房间号依次为1，2，3，……。经理就是数学家Cantor。

新开张的旅馆信誉好，生意兴隆，天天客满，房客店主都很开心。

有一天来了一位新客人，找到店小二，要住店。店小二挠挠头皮，说：我们已经客满，每个房间都有人了，没办法啊，对不住了。

旁边还在思考连续统猜想的Cantor突然说：怎么没办法？有办法！

他吩咐小二：通知房客，所有人都搬到比他房间号大一号的房间去住。也就是说，住1号房的房客搬到2号房，2号房的房客搬到3号房，依次类推，这样1号房就空出来了。

店小二虽然没上过多少学，却是一个聪明人，触类旁通，以后就是来一千来一万，他也不怕了。

过了一些日子，又遇上了新问题。那天一开门，外面来了无数的客人要住店。这里的无数可不是文学上的修辞夸张，是真的无数。小二傻眼了，这可咋办啊？旅店客满他倒不怕，问题是一下子人来得实在是太多了呀。

Cantor说：太好办了。他吩咐小二，你去通知现有房客，让他们搬去他们现有房号的两倍房号那里去。这样，1号房客住进了2号，2号房客住进了4号，3后房客住进了6号，等等，所有的奇数号房都空出来了。于是新来的客人都可以入住了。

店小二人聪明，擅长举一反三。比如有一天，旅馆外来了两辆客车，每辆车上都有无穷多的客人，怎么办呢？不能事事都找经理，他自己就动脑子想出了点子。他通知现有的房客，让他们都搬进现有住房号三倍的那号房去。这样，1号房客搬进了3号，2号房客搬进了6号，于是，1号2号空了出来，4号5号空了出来，依次类推，然后安排第一辆车的第一位客人住1号，第二辆车的第一位客人住2号，第一辆车的第二位客人住4号，第二辆车的第二位客人住5号，等等，所有的客人就都安排妥当了。

日子一天天过去，店小二也越来越成熟。不过有一天，又碰上难题了。这一次来了无数辆客车，车车都载着无数的客人，这一下他的聪明脑袋只好再一次发矇。

没办法，只能找经理。

Cantor说：别急，照样有办法。

你让现有的住在i 号房的客人搬进2^i号房，这样所有的奇数号房都空出来了，当然还有不少偶数号的房也空出来了，比如，6号，10号，12号，等等。然后我们把所有的奇素数排好，分别叫p1，p2，p3，……，接下来你这样安排新来的客人：第i辆车上的第n个客人，你让他住进(pi)^n号房。

店小二跟着Cantor已经有一段日子了，对素数已经有了一些了解。他知道奇素数有无穷多，按顺序排出来就是： 3，5，7，11，13，17，……，也就是: p1=3，p2=5，p3=7，p4=13，p5=17，……。他安排好了客人，长长舒了一口气。不光客人安排妥当了，还有无穷多的房间空了下来，以后再来些零散客人，他都不用费脑子了。

这时店小二突然想起：自从旅馆开业以来，还从来没有客人退过房，而新来的客人却有增无减，怎么开着开着，反而空出无穷多的房间？

这个Hilbert旅馆，真是邪了门了……

（完）