数学是物理的基础-三角函数

和学生们上课，常常会碰到一些多见的问题。今天要讲的这个问题是和数学有关的。数学是物理的基础，这话一点不错。今天就来讲讲学生们在物理里碰到的三角函数的问题。

牛顿力学里面第一件事就是受力分析，比较经典的常考的就是斜坡上一个物体的受力图。正确的受力图如下：

但是第一次学的学生往往会画成这样：

重力变成不指向地心，而是和斜边垂直了。为什么呢？就是因为这张错误的受力图看上去更“好看”，更“平衡“。

为什么会这么想呢?

在高中阶段，学生们的确已经学了矢量的概念。但是带箭头的矢量的运算接触的只是一个概念，大部分都是以代数的形式看到的公式，而不是图形的形式。比如一个学了Pre-Cal的学生应该知道如何计算(4+i)+(-1+3i)=3+4i，这是在SAT2 数学里面要考的内容，但往往局限于代公式而不是真正理解。但是学生往往不能理解， 或者说从来没有想到和下面的图是一回事：

在美国的高中数学中，矢量的运算要求真不是怎么高的。但是我也有一些在欧洲的学生，他们学的数学是跟着欧洲的教科书，往往比较强调矢量的运算，会好一些。假如一个学生从来没有看到过矢量的图形表达方式，冷不丁的跑到物理里面马上就开始运用“斜着的”矢量来画图，怎么着都觉得不顺手。所以他们往往只能习惯于这个平面上的受力分析：

这个图看上去平衡，只有x-轴和y-轴的，理解容易。但是在斜坡的情况下代表力的线偏离了x-轴和y-轴，那学生就从心里感到隐隐的不安，不知道怎么解。这种不安就在不知不觉中转化成了一种避开的情绪，或者说脑力已经累了，跟不上了，没有多于的脑力去考虑重力的方向，只想到能画出重力就好，于是让重力线偏离了本来垂直于地面的方向， 去垂直于斜面了。

在我指出重力永远垂直于地面以后，终于接受了这个：

但当问起重力W 在斜面的分力是多少的时候，又开始糊涂了。不知道究竟应该是正玄还是sin 还是 cos。

这其实是一个简单的三角函数的定义，在Pre-Cal里面学过的。这个问题不能很快地回答出来，其实就是对三角函数的定义和运用不熟练所造成的。

三角函数是SAT2数学考试的难点之一。只有熟练掌握了三角函数，SAT2数学考满分才有希望。然后这点知识也影响着后面的物理。所以物理往往放在Pre-Cal（三角函数是在Pre-Cal里面学的）之后学是很有道理的。