阿罗定理、波达计数与选举规则

现行的许多选举规则和比赛规则是有偏（bias）的规则，很难代表民意，即选举胜出与否与选举规则有关，而和被选举人是否真正代表民意无关。这是著名的阿罗不可能定理。阿罗定理说：基于爱好偏序排列的社会效益函数不存在【1】。阿罗1950年发现这个定理，1972年或诺贝尔经济学奖。

 

让我们用一个简单的例子来说明阿罗定理问题。比如有三个人参加总统竞选，他们是布什、克林顿和里根。一共有100个人投票。其中43人最喜欢布什、第二喜欢里根，最不喜欢克林顿；33人最喜欢克林顿、第二喜欢里根、最不喜欢布什；24人最喜欢里根，第二喜欢克林顿，最不喜欢布什。

 

如果每人一票，得票最多的当选，则布什以43票对克林顿33票和里根24票胜出。这是美国现在的选举规则。如果按照此规则选奥林匹克会址，中国就得到2000年的举办权了，但是奥林匹克会址的投票规则是得票最多的两名再重新投第二次票，结果中国在第二轮落选。

 

回到我们三人竞选的例子，如果按奥林匹克选会址的规则，克林顿会在第二轮投票中以57票对布什43票胜出。这种方法在此例中刚好也是末位淘汰法。

 

如果我们按照双双对决方法（这是体育中比赛的规则），那么布什与克林顿对决时，克林顿以57票对43票胜布什；布什与里根对决时，里根以57票对43票胜布什；克林顿与里根对决时，里根以67票对33票胜克林顿。结果是里根两胜，克林顿一胜一负，布什两负。里根胜出。

 

在选民偏好不变的情况下，用三种常用的选举规则会选出三个不同的总统。为什么说这些选举规则是有偏的呢？让我们举个例子来说明。假如出来前边一百个人的偏好不变，我们再加一百个最喜欢克林顿和最讨厌里根的人和另外一百个最喜欢里根而最讨厌克林顿的人，这两百人对布什即不喜欢也不讨厌。这样加多两百人看上去是中性的，对布什没有更喜欢也没有更讨厌，对克林顿和里根两个人的厌恶和喜爱人数相等相反。如果选举规则是无偏的，那么加这两百人对选举结果应该没有影响。读者不妨自己试试，选举结果会很不相同。如用第一条选举规则，原来100人投票时是布什胜出的，现在300人投票就变成克林顿胜出，虽然后边加的200人总体来说对三人的偏爱程度是中性的。

 

无偏的选举规则应该是波达计数【2】。波达是法国科学家，他在科学试验数据处理上发明了波达计数方法，他是1770年发明波达计数方法的。用回上边的例子，如果选民按偏好计点，如43人给布什2点，给克林顿1点，给里根0点，表示他们最喜欢布什，第二喜欢克林顿，最讨厌里根。其它人也用计点方式来排序他们的偏好。而选举的结果，以得点数最多的人胜出。那么我们就会发现，后边增加的中性的200人刚好使得每个候选人都增加了200点，不影响原来100人选举的结果。所以，波达计数是无偏选举规则。

波达计数在有广泛的应用，如市场调查，各种社会调查，依据公司投票决策等。也有几个小国家才有波达计数作为总统选举规则【2】。

 

规则有时候无法完全表达选民的偏好，如点数的3、2、1排序是等差计数，假设你的偏好程度是均匀分布的，怎么表达选民对两个候选人喜爱程度接近或想去甚远呢？

://www.talkcc.com/article/1208037
一种方法是规定每人可以用30个总点数，这和现在每人一票一样。如果我完全没有偏好，我就给每个候选人10点。如果我有偏好，我可以将30点在三个候选人之间任意分布，比如，如果我只想布什当选，我就给布什30点，给另外两个人0点。如果我喜欢布什，但万一布什不当选，里根我也能接受，我就给布什20点，给里根10点，给克林顿0点。这个好处是总点数守恒，坏处是比较平衡的人，即对三个候选人可以客观评价的人，其点数的能力反而不如极端主义的人，极端主义的人将30点都给1人，他的选举影响能力就比其它人高。

为了让每个人对起最喜爱的任一候选人的赞同权重一样，可以让每个选民对候选人在0－10中间评价，最好的给10分，最坏的给0分，没有偏好就给5分。这种方法也是有广泛应用的。现在我们填的许多市场调查标格都是这种形式。

 

【1】    http://en.wikipedia.org/wiki/Arrow%27s_impossibility_theorem

【2】    http://en.wikipedia.org/wiki/Borda_count

[唵啊吽]

回复swl2255的评论:

美国国家的制度是世界上最能吸引国际人才和资金的制度。但这不表面美国在国际事务中的所作所为就是道德高尚的，也不代表美国的制度是各国都能模仿的。

美国的国际事务中以国家利益至上。由于美国是超级大国，对国际事务影响至深，而他的超级能力是为美国利益服务的，这必然会伤害其它一些国家的利益，这就是为什么美国惹来很多其它国家人的痛恨的原因。

实际上中国并不是很恨美国，如果中国恨美国，那是由于美国恨中国引起的。如海南岛间谍飞机，李文和事件，银行号事件，前南领馆事件等等。中美之间的感情是被美国破坏了。在这一系列事件之前，中国由上至下都是亲美的，只是前苏联解体后，美国有意树中国为敌，破坏了中美的民间和官方的友谊。

[swl2255]

為什麽中國很恨美國，却又愛死美國來拜訪投資？

[为人父]

非常同意这句话：“个体的有序的偏好无法形成社会总体的有序的偏好。”，这就同股票市场的情况一样，当股民的表现是有序的时候，恰恰股市的表现则无序。也就是说，股民行为趋同时（不管基于何种理论），恰恰使股市变得非理性。

[唵啊吽]

回复小小无知的评论:
加拿大的情况刚好相反，左、中、右三党中，历史上总是中间一党当选的机会多。中间一党反而能够争得更多选票。

再有，生物试验可控制的因素不多，而且重复性也差，特别是两百多年前的试验，加上试验周期长。

[小小无知]

牛兄：这里似乎有值得进一步研究的地方。
波达计数用在评估试验结果上，可能没有问题。但将其应用于选举投票则可能会有问题。原因在于试验时是在一定相同条件下完成的。而选举时，却很难做到每个选民（选票）都是在对每个被选举者同等了解程度上做出的选择。而往往是对自己最喜欢和最不喜欢的对象投入较多的关注，而对中间部分并不同等关心。这样就造成对两端的选择是建立在较完全信息之上的选择，而对中间部分是建立在相对不完全信息之上的选择。（也就是说试验的条件不完全一致。）
那麽，为了得到更公平的的结果。或是想办法保证试验的条件一致（这点，由于涉及到人的心理特点等，可能难于做到），或是对波达计数法进行修正。如进行加权修正，两端权重大中间权重小。当在极端的情况下（中间部分的权重小到可以忽略的程度时），就出现了只有两端的选择是有意义的可能情况。

[唵啊吽]

回复小小无知的评论:
阿罗开始是研究经济学的。经济学讲效用函数，是说交换能产生更大效用。如我偏爱苹果，你偏爱梨，那么，按照市场价格，我用我剩余的梨还你剩余的苹果，虽然没有市场什么，但总效用提高了。古典经济学都是关注人类总统效用的，如亚当斯密的国富论，关注的是社会整体福利，这就产生一个问题，比如我们有一笔投资，不能同时建水库和公路，是建水库好呢？还是建公路好呢？还是什么都不建吃掉算了？由于每个决策都是对一些人有利，对另一些人不利，那么就要找一个社会效益函数来决策。阿罗说这个效益函数不存在，即让这些人投票的话，无法有一个规则真正表达总体社会偏好，个体的有序的偏好无法形成社会总体的有序的偏好。

如果我没记错的话，波达应该是个生物学家。当评估一项试验结果有多个因素存在时，就很难比较，有些试验结果是一些指标好，而另一些试验结果是另一些指标好，怎么评估那个试验结果更好呢？这就是一个排序问题。如小康指标，彩电普及率和医疗质量等数十个指标，怎么能够形成一个单一的指标呢？吧波达计数用于选举，就是这样一个规则，它能够得到一个整体的评估和排序。

说白了，就是波达计数得到了社会效用函数的表达方法，即个人的有序偏好可以形成整体的有序偏好排列。实际上就是说，选举规则用波达计数是公平的。即便定指标时有随意性，但是，规则订好后，不会偏向某一个候选人，不像一票选举那样某规则对某候选人有利，对其它候选人不利。

如果选举是基于民意的话，应该采用波达计数，而不是一票选举。我不敢说波达计数就一定公平，单至少比一票选举公平。

[小小无知]

或者是说，在企业发展的一定阶段，或是国家发展的一定阶段。（往往是变革的关键时期）只有坚定的支持者和坚定的反对者才对企业或国家的发展是有意义的。

[小小无知]

明白了，谢谢。
在实际的管理工作中，很多人有这样的经验。只要管好最优秀的和最差的员工，中间部分大都会随大流。
从这点来看，能不能说：一票选举（抹掉了许多偏好信息）也不见得就一定不科学，用波达计数考虑到所有偏好信息得到的结果，也不一定就是最优的呢。

[唵啊吽]

回复小小无知的评论:我是这样理解的。我在【宗教起源的一个简单心理学模型】讲到，民主程序更多的是凝聚民心共同行动的手段。阿罗说知道个人偏好无法找出集体偏好。但是一票选举有抹掉了许多偏好信息。所以，一票选举表达民意是数学上证明不可能的。然而，波达计数却可以充分利益所有个儿偏好信息来构造一个集体偏好，即波达计数使得民意表达成为可能。

美国选举前划分选区，就是使得规则对自身有利的政治游戏。因为执政党有权划分选区，所以美国总统连任成为很普遍的现象。用波达计数就可以排除一些不必要的政治游戏了。

[小小无知]

学习了，谢谢。
是不是可以说，根据目的不同，应采取不同的方法。
也就是说公平与否是由目的决定的，没有绝对的公平。